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40. Problème VI. — Étant données les tangentes de deux arcs, trouver la tangente de la somme et de la différence de ces arcs.

D’après les formules (1) et (8), on a d’abord

$\operatorname {tang} (a+b)\ =\ {\frac {\sin(a+b)}{\cos(a+b)}}\ =\ {\frac {\sin a\cos b+\sin b\cos a}{\cos \cos b-\sin a\sin b}}$.

Divisant le numérateur et le dénominateur par $\cos a\cos b$ et supprimant les facteurs communs aux deux termes de chaque fraction, on trouve

${\begin{aligned}\operatorname {tang} (a+b)&\ =\ {\frac {{\frac {\sin a\cos b}{\cos a\cos b}}+{\frac {\sin b\cos a}{\cos a\cos b}}}{{\frac {\cos a\cos b}{\cos a\cos b}}-{\frac {\sin a\sin b}{\cos a\cos b}}}}\\&\ =\ {\frac {{\frac {\sin a}{\cos a}}+{\frac {\sin b}{\cos b}}}{1-{\frac {\sin a}{\cos a}}\times {\frac {\sin b}{\cos b}}}}\ =\ {\frac {\operatorname {tang} a+\operatorname {tang} b}{1-\operatorname {tang} a\operatorname {tang} b}}\end{aligned}}$

Pour tang (a – b), il n’y a qu’à changer dans ce qui précède + en – au numérateur et – en + au dénominateur. On a donc :

xxxx(15)

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\end{matrix}}\right.$

$\operatorname {tang} (a+b)={\frac {\operatorname {tang} a+\operatorname {tang} b}{1-\operatorname {tang} a\operatorname {tang} b}},$

$\operatorname {tang} (a-b)={\frac {\operatorname {tang} a-\operatorname {tang} b}{1+\operatorname {tang} a\operatorname {tang} b}}.$

Remarque I. — En se rappelant que tang 45° égale 1, on a

$\operatorname {tang} (45^{\circ }+a)={\frac {1+\operatorname {tang} a}{1-\operatorname {tang} a}}$,$\quad \operatorname {tang} (45^{\circ }-a)={\frac {1-\operatorname {tang} a}{1+\operatorname {tang} a}}$.

Ces relations sont souvent utilisées dans les calculs.

Remarque II. — Si l’on fait b = a dans la première des formules (15), on obtient

$\operatorname {tang} 2a={\frac {2\operatorname {tang} a}{1-\operatorname {tang} ^{2}a}}$.

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