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$\sin a+\cos b=2\sin \left(45^{\circ }+{\frac {a-b}{2}}\right)\cos \left({\frac {a+b}{2}}-45^{\circ }\right)$.

Remarque II. — On a quelquefois besoin dans les calculs de transformer le binôme 1 + sin a en un produit. On peut alors regarder 1 comme le sinus de 90° ; il n’y a plus qu’à appliquer la règle précédente à la somme sin 90° + sin a, et à la différence sin 90° - sin a.

S’il s’agissait du binôme $1+\cos a$, on pourrait opérer de la même manière. Mais les formules (11) donnent plus simplement

$1-\cos a=2\sin ^{2}{\frac {a}{2}}$,$\quad 1+\cos a=2\cos ^{2}{\frac {a}{2}}$.

39. Problème V. — Trouver le rapport entre la somme de deux sinus et leur différence.

Divisons membre à membre les deux égalités (12), en supprimant en même temps dans le résultat le facteur 2 au numérateur et au dénominateur, nous obtenons

${\frac {\sin p+\sin q}{\sin p-\sin q}}\ =\ {\frac {\sin {\frac {p+q}{2}}\cos {\frac {p-q}{2}}}{\sin {\frac {p-q}{2}}\cos {\frac {p+q}{2}}}}\ =\ {\frac {\sin {\frac {p+q}{2}}}{\cos {\frac {p+q}{2}}}}\times {\frac {\cos {\frac {p-q}{2}}}{\sin {\frac {p-q}{2}}}}$

Or le sinus d’un arc divisé par le cosinus du même arc donne la tangente de cet arc, et le cosinus divisé par le sinus donne la cotangente (n^o 13) ; on a donc d’après cela

${\frac {\sin p+\sin q}{\sin p-\sin q}}\ =\ \operatorname {tang} {\frac {p+q}{2}}\times \operatorname {cotg} {\frac {p-q}{2}}$

On sait de plus que $\operatorname {cotg} {\frac {p-q}{2}}$ est égal à ${\frac {1}{\operatorname {tang} {\frac {p-q}{2}}}}$ ; on obtient ainsi
(14)                    ${\frac {\sin p+\sin q}{\sin p-\sin q}}\ =\ {\frac {\operatorname {tang} {\frac {p+q}{2}}}{\operatorname {tang} {\frac {p-q}{2}}}}$.