48. Problème IV. — Trois points d’un terrain étant marqués sur le plan de ce terrain ou la carte du pays, déterminer sur ce plan ou cette carte la position d’un quatrième point du terrain.
Pour faire comprendre l’utilité de ce problème, supposons qu’on ait découvert en mer un écueil que nous désignerons par M′, et qu’il s’agisse de marquer sa position sur la carte. On prendra sur la côte trois points A′, B′, C′ déjà marqués sur la carte en A, B, C (fig. 19), et qui puissent être aperçus du point M′. On se transportera en ce dernier point, et de là on
mesurera les angles A′M′B′, B′M′C′.
Il ne restera plus qu’à décrire dans la carte sur AB un segment de cercle capable de l’angle A′M′B′, et sur BC un segment capable de l’angle B′M′C′.
Le point M où les deux arcs se coupent est le point cherché.
Résolvons maintenant ce problème par la trigonométrie : cela revient à calculer les distances du point M′ aux points A′, B′, C′.
Déterminons d’abord les angles MAB, MCB : soit x le premier et y le second. Désignons par l’angle connu CMB, par l’angle connu AMB, par A, B, C les trois angles du triangle ABC, et par a, b, c les trois côtés opposés à ces angles.
La somme des angles du quadrilatère ABCM étant égale à quatre angles droits, on a déjà
