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Pour connaître la différence $x-y$, on a la formule

${\frac {\operatorname {tang} {\frac {x+y}{2}}}{\operatorname {tang} {\frac {x-y}{2}}}}={\frac {\sin x+\sin y}{\sin x-\sin y}}$,

d’où il faut éliminer sin x et sin y.
xxxxOr les deux triangles AMB, BMC donnent

${\frac {\sin x}{\mathrm {BM} }}={\frac {\sin \gamma }{c}}$,xxx ${\frac {\sin y}{\mathrm {BM} }}={\frac {\sin \alpha }{a}}$.

Divisant la première de ces deux égalités par la seconde, on trouve

${\frac {\sin x}{\sin y}}={\frac {a\sin \gamma }{c\sin \alpha }}$.

Pour simplifier, on peut diviser les deux termes du second membre par $\sin \gamma \ ;$ on a ainsi

${\frac {\sin x}{\sin y}}={\frac {a}{\left({\frac {c\sin \alpha }{\sin \gamma }}\right)}}$.

Si nous désignons par d la ligne ${\frac {c\sin \alpha }{\sin \gamma }}$, nous aurons

${\frac {\sin x}{\sin y}}={\frac {a}{d}}$.

De cette proportion on tire, d’après un principe démontré en arithmétique,

${\frac {\sin x+\sin y}{\sin x-\sin y}}={\frac {a+d}{a-d}}$,

En substituant le second membre de cette égalité à la place du second dans la deuxième des égalités précédentes, on obtient

(25)	${\frac {\operatorname {tang} {\frac {x+y}{2}}}{\operatorname {tang} {\frac {x-y}{2}}}}={\frac {a+d}{a-d}}$.