Page:Bovier-Lapierre - Traité élémentaire de trigonométrie rectiligne 1868.djvu/79

Or l’égalité $a={\frac {c\sin \alpha }{\sin \gamma }}$xxdonnexx ${\frac {\sin \alpha }{\sin \gamma }}={\frac {a}{c}}$.

Le triangle ABC donne aussi         ${\frac {\sin \mathrm {A} }{\sin \mathrm {C} }}={\frac {a}{c}}$.

De ces deux égalités, on tire         ${\frac {\sin \alpha }{\sin \gamma }}={\frac {\sin \mathrm {A} }{\sin \mathrm {C} }}$.

et, par suite,

${\frac {\sin \alpha +\sin \gamma }{\sin \alpha -\sin \gamma }}={\frac {\sin \mathrm {A} +\sin \mathrm {C} }{\sin \mathrm {A} -\sin \mathrm {C} }}$.

D’après la formule (14), cette dernière égalité peut être remplacée par la suivante

${\frac {\operatorname {tang} {\frac {\alpha +\gamma }{2}}}{\operatorname {tang} {\frac {\alpha -\gamma }{2}}}}={\frac {\operatorname {tang} {\frac {\mathrm {A+C} }{2}}}{\operatorname {tang} {\frac {\mathrm {A-C} }{2}}}}$.

Comme la somme $\alpha +\gamma$ est égale à la somme $\mathrm {A+C}$, cette dernière égalité montre que la différence $\alpha -\gamma$ est aussi égale à la différence $\mathrm {A-C}$ ; on a

$\alpha =\mathrm {A}$xxxxetxxxx$\gamma =\mathrm {C}$.

Par conséquent, le sommet de l’angle $\alpha$ se trouve sur la circonférence passant par B, C et A ; le sommet de l’angle $\gamma$ se trouve sur la circonférence passant par ces mêmes points. Les deux segments, qui seraient décrits sur AB et sur BC, d’après ce qui a été dit plus haut pour la détermination graphique du point M, se confondent en un seul. Ainsi l’indétermination provient de ce que les quatre points A′, B′, C′, M′, pris sur le terrain, se trouvent par hasard sur la même circonférence. Dans ce cas, il faudrait recommencer les opérations en remplaçant l’un des trois points A′, B′, C′ par un autre.

---