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On calculera d’abord la quantité d au moyen de la relation

$d={\frac {c\sin \alpha }{\sin \gamma }}$.

et on trouvera ensuite la différence des angles x et y au moyen de la formule (25).

Les angles MAB, MCB étant ainsi connus, on calculera les distances du point M′ aux points A′, B′, C′, au moyen des deux triangles représentés sur la carte par les triangles AMB, BMC, dans chacun desquels on connaît un côté et deux angles.

Remarque. — Il pourrait arriver que, dans une application de ce problème, on trouvât a = d, c’est-à-dire $a={\frac {c\sin \alpha }{\sin \gamma }}$, et, en même temps, x + y = 180°, Dans ce cas, la formule (25) donnerait

$\operatorname {tang} {\frac {x-y}{2}}=\infty \times {\frac {0}{a+d}}=\infty \times 0={\frac {0}{0}}$.

Ce résultat montre que ${\frac {x-y}{2}}$ est indéterminé, et que, par conséquent, le point cherché M sur la carte est indéterminé aussi^[1]. Cherchons à quoi tient cette singularité.

En observant qu’on a

$x+y=180^{\circ }$xxetxx$x+y=360^{\circ }-(\mathrm {B} +\alpha +\gamma )$,

on en déduit

$180^{\circ }=360^{\circ }-(\mathrm {B} +\alpha +\gamma )$,xxd’oùxx$\alpha +\gamma =180^{\circ }-\mathrm {B}$.

De plus, le triangle ABC donne $\mathrm {A+C=180^{\circ }-B}$ ; on a donc

$\alpha +\gamma =\mathrm {A+C}$.

1. Il est facile de voir que $\infty \times 0$ est équivalent à ${\frac {0}{0}}$ ; car $\infty$ est la même chose que ${\frac {n}{0}},$ $n$ étant un nombre quelconque. Or, d’après la règle de la multiplication, on a ${\frac {n}{0}}\times 0={\frac {0}{0}}$.