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Prenons la formule : $\sin {\frac {\mathrm {A} }{2}}={\sqrt {\frac {(p-b)(p-c)}{bc}}}$.

Pour qu’elle donne pour $\sin {\frac {\mathrm {A} }{2}}$ une valeur réelle, il faut que la quantité placée sous le radical soit positive et ne surpasse pas 1. Il faut donc qu’on ait ${\frac {(p-b)(p-c)}{bc}}>0$xxetxx${\frac {(p-b)(p-c)}{bc}}\leq 1$, ou, en chassant le dénominateur,

(m)                    $(p-b)(p-c)>0$xxetxx$(p-b)(p-c)\leq bc$.

La première de ces deux inégalités sera satisfaite si l’on a

$p-b>0$xxetxx$p-c>0$,

ou en remplaçant $p$ par ${\frac {a+b+c}{2}}$, supprimant le dénominateur 2 et transposant les termes,

$b<a+c$xxetxx$c<a+b$.

Ainsi chacun des côtés b et c doit être plus petit que la somme des deux autres.

Pour trouver la condition exprimée par la seconde des deux inégalités (m), remplaçons-y $p$ par ${\frac {a+b+c}{2}}$ ; nous trouvons

${\frac {a+c-b}{2}}\times {\frac {a+b-c}{2}}\leq bc$xxouxx$(a+c-b)(a+b-c)<4bc$.

En effectuant la multiplication, transposant les termes et réduisant, nous avons

$a^{2}<b^{2}+c^{2}+2bc$xxouxx$a<b+c$.

Ainsi le troisième côté doit, comme les deux premiers, être plus petit que la somme des deux autres, ce qui est la condition indiquée par la géométrie.