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la formule (10) donne

$\sin(\mathrm {A+B} )=2\sin \mathrm {{\frac {A+B}{2}}\cos {\frac {A+B}{2}}}$.

L’égalité (n) devient donc

$\mathrm {\sin A+\sin B+\sin C=2\sin {\frac {A+B}{2}}\left(\cos {\frac {A+B}{2}}+\cos {\frac {A-B}{2}}\right)}$.

Transformant la somme des deux cosinus d’après la formule (13), et observant que $\sin {\frac {\mathrm {A+B} }{2}}$ est égal à $\cos {\frac {\mathrm {C} }{2}}$, on trouve

$\mathrm {\sin A+\sin B+\sin C=4\cos {\frac {A}{2}}\cos {\frac {B}{2}}\cos {\frac {C}{2}}} .$

4^o Différence des carrés de deux sinus.

On a d’abord

$\sin ^{2}a-\sin ^{2}b=(\sin a+\sin b)(\sin a-\sin b)$.

Transformant la somme et la différence des deux sinus d’après les formules (12) et (13), on obtient :

${\begin{aligned}\sin ^{2}a-\sin ^{2}b&=2\sin {\frac {a+b}{2}}\cos {\frac {a-b}{2}}\times 2\sin {\frac {a-b}{2}}\cos {\frac {a+b}{2}}\\&=2\sin {\frac {a+b}{2}}\cos {\frac {a+b}{2}}\times 2\sin {\frac {a-b}{2}}\cos {\frac {a-b}{2}}.\end{aligned}}$

En regardant $a+b$ et $a-b$ comme le double de ${\frac {a+b}{2}}$ et ${\frac {a-b}{2}}$, on trouve, d’après la formule (10),

$\sin ^{2}a-\sin ^{2}b=\sin(a+b)\sin(a-b)$.

53. Méthode générale. — Il est quelquefois utile de transformer en un produit une somme ou une différence de deux quantités quelconques $a+b$ ou $a-b$.

Pour cela on réduit d’abord l’un des termes du binôme à 1, en divisant et en multipliant le binôme par ce terme. On a ainsi

$a+b=a\left(1+{\frac {b}{a}}\right)$.