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$\operatorname {tang} ^{2}\varphi ={\frac {4ab\sin ^{2}{\frac {\mathrm {C} }{2}}}{(a-b)^{2}}}$,xxx$c={\frac {a-b}{\cos ^{2}\varphi }}$.

3^o Transformer en un produit les racines de l’équation $\mathrm {a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A}$, dans laquelle c est l’inconnue.

Ces racines sont

$c=b\cos \mathrm {A} \pm {\sqrt {a^{2}-b^{2}\sin ^{2}\mathrm {A} }}$.

Elles font connaître le côté c d’un triangle dont a et b sont les deux autres côtés, et A l’angle opposé au côté a (n^o 33).

On a d’abord

${\sqrt {a^{2}-b^{2}\sin ^{2}\mathrm {A} }}\ =\ a{\sqrt {1-{\frac {b^{2}\sin ^{2}\mathrm {A} }{a^{2}}}}}$.

Comme le second terme qui suit 1 sous le radical doit être moindre que 1, posons
(r)                                        ${\frac {b\sin \mathrm {A} }{a}}=\sin \varphi$.

La substitution de cette expression donne

${\sqrt {a^{2}-b^{2}\sin ^{2}\mathrm {A} }}\ =\ a{\sqrt {1-\sin ^{2}\varphi }}\ =\ a\cos \varphi$,

et                                        $c=b\cos \mathrm {A} \pm a\cos \varphi$.

Pour transformer ce binôme, on tire de l’égalité (r)
(s)                                        $b={\frac {a\sin \varphi }{\sin \mathrm {A} }}$.
On a donc

$c={\frac {a\sin \varphi \cos \mathrm {A} }{\sin \mathrm {A} }}\pm a\cos \varphi ={\frac {a}{\sin \mathrm {A} }}(\sin \varphi \cos \mathrm {A} \pm \sin \mathrm {A} \cos \varphi )$,

et enfin

$c={\frac {a\sin(\varphi \pm \mathrm {A} )}{\sin \mathrm {A} }}$.

Or, au n^o 33, on avait trouvé

$b={\frac {a\sin \mathrm {B} }{\sin \mathrm {A} }}$.

Cette égalité rapprochée de l’égalité (s) montre que l’angle $\varphi$ n’est autre chose que l’angle B du triangle.

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