Page:Bovier-Lapierre - Traité élémentaire de trigonométrie rectiligne 1868.djvu/92

Effectuant la multiplication et transposant les termes, on obtient

$2a-\sin 2a<2a\sin ^{2}a$,

et, à plus forte raison, en remplaçant le sinus par l’arc dans le second membre,

$2a-\sin 2a<2a\times a^{2}$.

Désignant, pour plus de simplicité, l’arc 2a par b, nous aurons

$b-\sin b<{\frac {b^{3}}{4}}$;

donc la différence entre un arc et son sinus est moindre que le quart du cube de l’arc.

Or on a

$\mathrm {arc} \;10^{\prime \prime }<0{,}00005$,

$\;(\mathrm {arc} \;10^{\prime \prime })^{3}<\;0{,}00005^{3}$ xxouxx$<0{,}00000\,00000\,00125$,
${\frac {(\mathrm {arc} \;10^{\prime \prime })^{3}}{4}}<{\frac {0{,}00005^{3}}{4}}$xxouxx$<0{,}00000\,00000\,00032$,

c’est-à-dire que le quart du cube de l’arc de $10^{\prime \prime }$ est moindre que 1 unité décimale du 13^e ordre.

Ainsi la différence entre l’arc de $10^{\prime \prime }$ et son sinus ne commence qu’au-delà du 13^e chiffre décimal, et par conséquent on a

$\sin 10^{\prime \prime }=0,0000484813681$,

valeur approchée par excès avec une erreur moindre que 1 unité du 13^e ordre décimal.

56. Le calcul de $\cos 10^{\prime \prime }$ pourrait se tirer de

$\cos 10^{\prime \prime }={\sqrt {1-\sin ^{2}10^{\prime \prime }}}$ ;

mais la marche suivante est préférable.

De $\sin {\frac {a}{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos a}{2}}}$,xx on tire xx$\cos a=1-2\sin ^{2}{\frac {a}{2}}$.

Comme pour un arc très-petit $\sin {\frac {a}{2}}$, diffère peu de ${\frac {a}{2}}$, on aura