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En effet, soit a un arc < 90° ; nous aurons $a>\sin a$ et $a<\operatorname {tang} a$, ce qu’on peut écrire ainsi :

$\sin a<a<{\frac {\sin a}{\cos a}}$.

Divisant tous les termes par $\sin a$, on obtient

$1<{\frac {a}{\sin a}}<{\frac {1}{\cos a}}$.

Le rapport ${\frac {a}{\sin a}}$ est donc compris entre 1 et la quantité variable ${\frac {1}{\cos a}}$, qui est plus grande que 1, mais qui diminue avec l’arc, puisqu’alors $\cos a$ augmente. De plus, ${\frac {1}{\cos a}}$ s’approche indéfiniment de 1 à mesure que l’arc tend à se réduire à 0°.

Ainsi, à la limite, le rapport ${\frac {a}{\sin a}}$ est compris entre 1 et 1, ce qui revient à dire que l’arc et son sinus diffèrent de moins en moins à mesure que l’arc diminue, et qu’un arc infiniment petit est rigoureusement égal à son sinus.

D’après cela, si l’on calcule la longueur d’un arc très-petit, de $10^{\prime \prime }$par exemple (le rayon étant pris pour unité), cette longueur sera à très-peu près la valeur de $\sin 10^{\prime \prime }$ ; or on a

$\mathrm {arc} \;180^{\circ }=\pi =3{,}141592653589793\ldots$

$\mathrm {arc} \;1^{\circ }={\frac {\pi }{180}}$,xxx$\mathrm {arc} \;1^{\prime }={\frac {\pi }{180\times 60}}$,xxx$\mathrm {arc} \;10^{\prime \prime }={\frac {\pi }{180\times 60\times 6}}$,

$\mathrm {arc} \;10^{\prime \prime }={\frac {\pi }{64800}}=0{,}000048481368110\ldots$

On trouve donc

$\sin 10^{\prime \prime }=0{,}000048481368110\ldots$

3^o Cherchons maintenant le degré d’approximation de cette valeur. De $a<{\frac {\sin a}{\cos a}}$ on tire $a\cos a<\sin a$ ; la multiplication des deux membres par $2\cos a$ donne

$2a\cos ^{2}a<2\sin a\cos a$ ou $2a(1-\sin ^{2}a)<\sin 2a$.