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abrégée. On obtient
                    ${\begin{aligned}(\mathrm {arc\,10^{\prime \prime }} )^{2}&=0{,}00000\,00023\,50443\,054,\\{\frac {1}{2}}(\mathrm {arc\,10^{\prime \prime }} )^{2}&=0{,}00000\,00011\,75221\,527,\\\cos 10^{\prime \prime }=1-{\frac {1}{2}}(\mathrm {arc\,10^{\prime \prime }} )^{2}&=0{,}99999\,99988\,24778\,473,\\\end{aligned}}$
ou, en se bornant aux treize premières décimales comme pour le sinus,

$\cos 10^{\prime \prime }=0{,}99999\,99988\,248$.

57. Les sinus et cosinus de $20^{\prime \prime }$,$30^{\prime \prime }$,… pourraient être tirés des égalités
          $\sin 20^{\prime \prime }=2\sin 10^{\prime \prime }\cos 10^{\prime \prime },\ \cos 20^{\prime \prime }=\cos ^{2}10^{\prime \prime }-\sin ^{2}10^{\prime \prime }$,
          $\sin 30^{\prime \prime }=\sin(20^{\prime \prime }+10^{\prime \prime })=\sin 20^{\prime \prime }\cos 10^{\prime \prime }+\sin 10^{\prime \prime }\cos 20^{\prime \prime }$,
          $\cos 30^{\prime \prime }=\cos(20^{\prime \prime }+10^{\prime \prime })=\cos 20^{\prime \prime }\cos 10^{\prime \prime }-\sin 20^{\prime \prime }\sin 10^{\prime \prime }$,

et ainsi de suite. Mais Th. Simpson, mathématicien anglais du xviii^e siècle, observant que les arcs dont on cherche les sinus et cosinus forment une progression par différence, a simplifié le calcul de la manière suivante. Prenons les formules du n^o 38
                    $\sin(a+b)+\sin(a-b)=2\sin a\cos b,$
                    $\cos(a+b)+\cos(a-b)=2\cos a\cos b$.

Les trois arcs $a+b,\;a$ et $a-b$ forment une progression par différence, dont la raison est b. En écrivant les termes dans l’ordre de ces arcs, et faisant $b=10^{\prime \prime }$, on a

xxxx(27)

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\end{matrix}}\right.$

$\sin(a+10^{\prime \prime })=\sin a\times 2\cos 10^{\prime \prime }-\sin(a-10^{\prime \prime })$,

$\cos(a+10^{\prime \prime })=\cos a\times 2\cos 10^{\prime \prime }-\cos(a-10^{\prime \prime })$.

Telles sont les formules de Th. Simpson. On y remplace successivement a par $10^{\prime \prime },\,20^{\prime \prime },\,30^{\prime \prime },\ldots$ en ayant soin dans ces calculs de déterminer le degré d’approximation de chaque résultat^[1].

1. Voir mon Traité élémentaire des approximations numériques.