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58. Ces calculs peuvent encore être abrégés. En effet, soit k la différence très-petite qui existe entre $2$ et $2\cos 10^{\prime \prime }$, on aura

$k=2-2\cos 10^{\prime \prime }=0{,}00000\,00023\,504$,
$2\cos 10^{\prime \prime }=2-k$.

Remplaçant $2\cos 10^{\prime \prime }$ par $2-k$ dans les égalités (27), et transposant, on obtient

xxxx(28)

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\end{matrix}}\right.$

$\sin(a+10^{\prime \prime })-\sin a=\sin a-\sin(a-10^{\prime \prime })-k\sin a,$

$\cos(a+10^{\prime \prime })-\cos a=\cos a-\cos(a-10^{\prime \prime })-k\cos a$.

Faisant ensuite $a=10^{\prime \prime },\;20^{\prime \prime },\;30^{\prime \prime },\ldots ,$ on trouve

                    ${\begin{aligned}\sin 20^{\prime \prime }-\sin 10^{\prime \prime }&=\sin 10^{\prime \prime }-k\sin 10^{\prime \prime },\\\cos 20^{\prime \prime }-\cos 10^{\prime \prime }&=\cos 10^{\prime \prime }-1-k\cos 10^{\prime \prime };\\\sin 30^{\prime \prime }-\sin 20^{\prime \prime }&=(\sin 20^{\prime \prime }-\sin 10^{\prime \prime })-k\sin 10^{\prime \prime },\\\cos 30^{\prime \prime }-\cos 20^{\prime \prime }&=(\cos 20^{\prime \prime }-\cos 10^{\prime \prime })-k\cos 10^{\prime \prime },\mathrm {etc.} \end{aligned}}$

On voit par là qu’en retranchant $k\sin 10^{\prime \prime }$ de $\sin 10^{\prime \prime }$, on obtient la différence qu’il y a entre $\sin 20^{\prime \prime }$ et $\sin 10^{\prime \prime }$ ; il suffira d’ajouter $\sin 10^{\prime \prime }$ à cette différence pour avoir $\sin 20^{\prime \prime }$.

En retranchant $k\sin 10^{\prime \prime }$ de la différence $\sin 20^{\prime \prime }-\sin 10^{\prime \prime }$, comme par le calcul précédent, on obtient la différence qu’il y a entre $\sin 30^{\prime \prime }$ et $\sin 20^{\prime \prime }$ ; il suffit donc d’ajouter $\sin 20^{\prime \prime }$ à cette différence pour avoir $\sin 30^{\prime \prime }$, et ainsi de suite. On opèrera de la même manière pour les cosinus.

On prend la précaution de former d’avance les produits de k par chacun des neuf chiffres significatifs.

59. Des erreurs étant à craindre dans des opérations aussi étendues, il est important d’avoir des moyens de vérification. Or on peut calculer directement les sinus et cosinus de certains arcs (n^o 7) ; il suffira donc de comparer aux valeurs ainsi obtenues celles qu’aura fournies le calcul précédent. Par exemple, on cher-