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Multiplions par $2{\frac {d\theta }{dt}}$ et intégrons ; il vient

(2) $I\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}=n(\theta _{0}^{2}-\theta ^{2})-2a{\sqrt {\frac {n}{I}}}\int _{\theta _{0}}^{\theta }{\sqrt {\theta _{0}^{2}-\theta ^{2}}}d\theta -2b{\frac {n}{I}}\int _{\theta _{0}}^{\theta }(\theta _{0}^{2}-\theta ^{2})d\theta$.

On peut tirer de là la valeur approchée de la perte relative d’amplitude au bout d’une oscillation.

Appelons $\theta _{1}$ l’amplitude au bout de la première oscillation ; la perte relative en question est

${\frac {\theta _{0}-|\theta _{1}|}{\theta _{0}}}$ (il faut prendre la valeur absolue $|\theta _{1}|$, car $\theta _{1}$ est négatif).

Or, en faisant $\theta =\theta _{1}$ dans (2), on a

$I\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)_{\theta =\theta _{0}}=n(\theta _{0}^{2}-\theta _{1}^{2})-2a{\sqrt {\frac {n}{I}}}\int _{\theta _{0}}^{\theta _{1}}{\sqrt {\theta _{0}^{2}-\theta ^{2}}}d\theta -2b{\frac {n}{I}}\int _{\theta _{0}}^{\theta _{1}}(\theta _{0}^{2}-\theta ^{2})d\theta$.

Remarquons maintenant que ${\frac {d\theta }{dt}}$ est nul pour $t=0$ ($\theta =\theta _{0}$) et l’est encore pour $\theta =\theta _{1}$ (une oscillation après).

D’autre part, la perte d’amplitude étant faible, $\theta _{1}$ est très voisin de $-\theta _{0}$ ; on peut donc remplacer $\theta _{1}$ par $-\theta _{0}$ dans les termes de résistance et écrire

$0=n(\theta _{0}^{2}-\theta _{1}^{2})-2a{\sqrt {\frac {n}{I}}}\int _{\theta _{0}}^{-\theta _{0}}{\sqrt {\theta _{0}^{2}-\theta ^{2}}}d\theta -2b{\frac {n}{I}}\int _{\theta _{0}}^{-\theta _{0}}(\theta _{0}^{2}-\theta ^{2})d\theta$

ou bien $n(\theta _{0}^{2}-\theta _{1}^{2})=2a{\sqrt {\frac {n}{I}}}\int _{\theta _{0}}^{-\theta _{0}}{\sqrt {\theta _{0}^{2}-\theta ^{2}}}d\theta -2b{\frac {n}{I}}\int _{\theta _{0}}^{-\theta _{0}}(\theta _{0}^{2}+\theta ^{2})d\theta$ d’où, en effectuant les intégrations et en simplifiant

${\frac {\theta _{0}-|\theta _{1}|}{\theta _{0}}}={\frac {\pi a}{2n}}{\sqrt {\frac {n}{I}}}+{\frac {4}{3}}{\frac {b}{I}}\theta _{0}$

ce qu’on peut écrire

(3) ${\frac {\theta _{0}-|\theta _{1}|}{\theta _{0}}}=m+p\theta _{0}$,

en posant

${\frac {\pi a}{2n}}{\sqrt {\frac {n}{I}}}=m\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {4}{3}}{\frac {b}{I}}=p$,