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de ces équations la valeur de $\mathrm {\frac {MZ}{RZ}}$, et la substituant dans la seconde, j’ai

${\frac {\mathrm {TP+TT} }{y}}={\frac {2y+\mathrm {RZ} }{2a-2x-\mathrm {MZ} }}$,

équation exacte et qui doit avoir lieu, quelle que soit la distance qu’on voudra mettre entre les lignes RS et MP.

Or il est aisé de voir que je puis mettre cette équation sous la forme suivante :

$\left({\frac {\mathrm {TP} }{y}}-{\frac {y}{a-x}}\right)+\left[{\frac {\mathrm {T'T} }{y}}-{\frac {y\,\mathrm {MZ} +a\,\mathrm {RZ} -x\,\mathrm {RZ} }{(a-x)\,(2a-2x-\mathrm {MZ} )}}\right]=0$,

dans laquelle le premier terme ne contient que des quantités données ou déterminées par les conditions du problème, et dont le second contient des arbitraires, et peut être supposé aussi petit qu’on le veut, sans rien changer aux quantités qui sont contenues dans le premier terme, puisqu’on est maître de supposer RS aussi proche qu’on le veut de MP. Donc, suivant la théorie des indéterminées, chacun des termes de cette équation, pris séparément, doit être égal à zéro ; c’est-à-dire que cette équation peut se décomposer en ces deux autres :

${\frac {\mathrm {TP} }{y}}-{\frac {y}{a-x}}=0$et${\frac {\mathrm {T'T} }{y}}-{\frac {y\,\mathrm {MZ} +a\,\mathrm {RZ} -x\,\mathrm {RZ} }{(a-x)\,(2a-2x-\mathrm {MZ} )}}=0$,

desquelles la première ne contient que des quantités désignées, et la seconde contient des arbitraires. Mais nous n’avons besoin que de la première, puisque c’est celle qui nous donne la valeur cherchée de TP, telle que nous l’avons déjà trouvée ci-devant. Donc, quand même nous aurions commis des erreurs dans le cours du calcul, pourvu que ces erreurs ne fussent tombées que sur la dernière équation, l’exactitude du résultat cherché n’en aurait point souffert ; et c’est effectivement ce qui serait arrivé si nous eussions traité MZ, RZ et T’T comme nulles par comparaison aux quantités proposées a, x, y, dans les équations primitives ; nous eussions, à la vérité, commis des erreurs dans l’expression des conditions du problème, mais ces erreurs se fussent détruites d’elles-mêmes par compensation, et le résultat dont nous avons besoin n’en eût été aucunement altéré.