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et partant, les quantités $\varphi ,\varphi '{\text{ et }}\varphi ''$ ont été, non pas supprimées comme nulles, mais simplement sous-entendues pour simplifier le calcul.

124. Pour second exemple proposons-nous de prouver que l’aire d’un cercle est égale au produit de sa circonférence par la moitié du rayon ; c’est-à-dire qu'en nommant R ce rayon, ${\bar {\omega }}$ le rapport de la circonférence à ce même rayon, et par conséquent ${\bar {\omega }}\mathrm {R}$ cette circonférence, S la surface du cercle, on doit avoir

$\mathrm {S} ={\tfrac {1}{2}}{\bar {\omega }}\mathrm {R^{2}}$.

Pour cela, j’inscris au cercle un polygone régulier, puis je double successivement le nombre de ses côtés jusqu’à ce que l’aire de ce polygone diffère aussi peu qu’on le voudra de l’aire du cercle. En même temps le périmètre du polygone différera aussi peu qu’on le voudra de la circonférence ${\bar {\omega }}\mathrm {R}$, et l’apothème aussi peu qu’on le voudra du rayon R. Donc l’aire S différera aussi peu qu’on le voudra de ${\frac {1}{2}}{\bar {\omega }}\mathrm {R^{2}}$; donc si nous faisons

$\mathrm {S} ={\tfrac {1}{2}}{\bar {\omega }}\mathrm {R^{2}} +\varphi$,

la quantité $\varphi$, si elle n’est pas 0, pourra être au moins supposée aussi petite qu’on le voudra. Cela posé, je mets cette équation sous la forme

$\left(\mathrm {S} -{\tfrac {1}{2}}{\bar {\omega }}\mathrm {R^{2}} \right)-\varphi =0$.

équation à deux termes, dont le premier ne renferme aucune arbitraire, et dont le second, au contraire, peut être supposé aussi petit qu’on le veut ; donc, par la théorie des indéterminées, chacun de ces termes en particulier est égal à 0 : donc nous avons

$\mathrm {S} -{\tfrac {1}{2}}{\bar {\omega }}\mathrm {R^{2}} =0$ ou $\mathrm {S} ={\tfrac {1}{2}}{\bar {\omega }}\mathrm {R^{2}}$ ;

ce qu’il fallait démontrer.

125. Soit proposé maintenant de trouver quelle est la valeur qu’il faut donner à x, pour que sa fonction $ax-xx$ soit un maximum.

Le cas du maximum doit avoir lieu évidemment, lorsqu’en ajoutant à l’indéterminée x une valeur arbitraire x’, l’augmentation