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est la même chose que

${\frac {\mathrm {B} {x'}^{3}}{\mathrm {H} ^{2}}}\operatorname {som} \left({\frac {x}{x'}}\right)^{2}$.

Or ${\frac {x}{x'}}$ est évidemment le nombre des tranches comprises depuis le sommet jusqu’à x, donc $\operatorname {som} \left({\frac {x}{x'}}\right)^{2}$ pour la pyramide entière, est la somme des carrés des nombres naturels depuis 0 jusqu’à ${\frac {\mathrm {H} }{x'}}$.

Mais on sait que cette suite de carrés des nombres naturels est

${\tfrac {1}{6}}\left({\frac {2\mathrm {H} ^{3}}{{x'}^{3}}}+{\frac {3\mathrm {H} ^{2}}{{x'}^{2}}}+{\frac {\mathrm {H} }{x'}}\right)$.

Substituant cette somme dans l’équation trouvée ci-dessus, nous aurons

$\mathrm {V} ={\frac {\mathrm {B} {x'}^{3}}{6\mathrm {H} ^{2}}}\left({\frac {2\mathrm {H} ^{3}}{{x'}^{3}}}+{\frac {3\mathrm {H} ^{2}}{{x'}^{2}}}+{\frac {\mathrm {H} }{x'}}\right)+\varphi$,

ou, en transformant pour séparer les termes arbitraires de ceux qui ne le sont pas,

$(\mathrm {V} -{\tfrac {1}{3}}\mathrm {BH} )-\left[{\frac {\mathrm {B} {x'}^{3}}{6\mathrm {H} ^{2}}}\left({\frac {3\mathrm {H} ^{2}}{{x'}^{2}}}+{\frac {\mathrm {H} }{x'}}\right)+\varphi \right]=0$,

équation rigoureusement exacte à deux termes, dont le premier ne contient que des quantités désignées ou non arbitraires, et dont le second peut être rendu aussi petit qu’on le veut. Donc chacun de ces termes pris séparément est égal à zéro : donc nous avons par le premier

$\mathrm {V-{\tfrac {1}{3}}BH} =0{\text{ ou }}\mathrm {V={\tfrac {1}{3}}BH}$,

ce qu’il fallait trouver.

La solution qu’on vient de donner est analogue à la méthode des indivisibles, ou plutôt c’est la méthode même des indivisibles rendue rigoureuse par quelques légères modifications, au moyen de la méthode des indéterminées : nous allons maintenant appliquer celle-ci à la même question, en employant la notation de l’analyse infinitésimale, pour faire voir comment toutes ces méthodes se tiennent, ou plutôt comment elles ne