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donc, en prenant de part et d’autre la somme exacte, nous aurons

$\mathrm {\frac {B}{3H^{2}}} \,x^{3}+\mathrm {C} =\operatorname {som} \mathrm {\frac {B}{H^{2}}} \,x^{2}dx+\operatorname {som} \mathrm {\frac {B}{H^{2}}} (3xdx^{2}+dx^{3})$,

ou, en transposant,

$\operatorname {som} \mathrm {\frac {B}{H^{2}}} \,x^{2}dx=\left(\mathrm {\frac {B}{3{H}^{2}}} \,x^{3}+\mathrm {C} \right)-\operatorname {som} \mathrm {\frac {B}{H^{2}}} (3xdx^{2}+dx^{3})$,

Substituant dans l’équation (A), nous aurons exactement

$\mathrm {V} =\left(\mathrm {\frac {B}{3{H}^{2}}} \,x^{3}+\mathrm {C} \right)-\left[\operatorname {som} \mathrm {\frac {B}{H^{2}}} (3xdx^{2}+dx^{3})-\operatorname {som} \varphi \right]$,

équation dans laquelle le dernier terme seul contient des quantités arbitraires et peut être supposé aussi petit qu’on le veut. Faisons donc, pour abréger, ce terme ȹ’; l’équation deviendra, en transposant,

$\left[\mathrm {V} -\left(\mathrm {\frac {B}{3{H}^{2}}} \,x^{3}+\mathrm {C} \right)\right]-\varphi '=0$.

équation dont par les principes de la méthode des indéterminées chaque terme pris séparément est égal à zéro, ce qui donne

$\mathrm {V} =\mathrm {\frac {B}{3{H}^{2}}} \,x^{3}+\mathrm {C}$.

Pour déterminer C, il n’y a qu’à faire x = 0, alors on a V = 0, donc C = 0, donc l’équation se réduit à

$\mathrm {V} =\mathrm {\frac {B}{3{H}^{2}}} \,x^{3}$,

c’est-à-dire que le volume de la pyramide depuis le sommet jusqu’à la hauteur x est ${\frac {\mathrm {B} {x}^{3}}{3\mathrm {H^{2}} }}$ ; donc, pour avoir le volume total de la pyramide, il n’y a plus qu’à supposer x = H, ce qui donnera enfin

$\mathrm {V={\tfrac {1}{3}}BH}$.

128. Cette solution, comme on le voit, n’est autre chose que celle qu’on obtiendrait par les procédés de l’analyse infinitésimale,