finies. Lagrange a de plus donné, sur le même sujet, un autre ouvrage considérable, intitulé Leçons sur le calcul des fonctions, lequel est un commentaire et un supplément pour le premier.
Ces écrits sont marqués au coin du génie original et profond auquel nous devions déjà le Calcul des variations et la Mécanique analytique ; comme ils doivent se trouver entre les mains de tous ceux qui veulent approfondir la science du calcul, je n’en dirai ici qu’un mot.
Afin de conserver, dans tout le cours de ses opérations, l’exactitude rigoureuse dont il s’est fait la loi de ne jamais s’écarter, Lagrange, qui fait aussi usage des différentielles, sous une autre dénomination et sous une autre notation, les considère comme des quantités finies, indéterminées. En conséquence, il ne néglige aucun terme et prend ses différentielles comme on le fait dans le calcul aux différences finies. C’est à quoi il parvient par le théorème de Taylor, dont il fait la base de sa doctrine, et qu’il démontre directement par l’analyse ordinaire, tandis qu’avant lui on ne l’avait encore démontré que par le secours même du calcul différentiel.
L’auteur parvient ainsi à exprimer, par des équations rigoureusement exactes, les conditions de toute question proposée. Ces équations paraissent sans doute devoir être plus difficiles à établir et plus compliquées que celles qu’on obtient par les procédés ordinaires de l’analyse infinitésimale, c’est-à-dire lorsqu’on se permet de négliger les quantités infiniment petites vis-à-vis des quantités finies. Mais comme les unes et les autres de ces équations ne peuvent jamais conduire qu’aux mêmes résultats, on sent qu’il doit nécessairement exister pour les premières des moyens de simplification qui les ramènent aux autres. C’est ce qui a lieu en effet : l’auteur, par une suite de transformations ingénieuses, parvient à dégager son calcul de tout ce qui l’embarrassait inutilement. C’est ainsi que ces équations reviennent d’elles-mêmes, et sans qu’on soit obligé de rien négliger dans le cours des opérations, à la simplicité de celles qu’on aurait pu obtenir immédiatement par les procédés ordinaires de l’analyse infinitésimale.
155. Quoique Lagrange prenne ses différentielles comme
