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suppositions, on doit aussi trouver pour chaque quantité une valeur absolue. Donc si au contraire on ne trouve qu’une valeur négative ou imaginaire, on peut déjà conclure qu’il se trouve nécessairement quelque incompatibilité entre les conditions du problème et les hypothèses sur lesquelles le calcul est établi.

Maintenant pour connaître en quoi consistent ces fausses suppositions qu’on peut avoir faites, je nomme x l’inconnue pour laquelle on a trouvé une valeur négative, et je suppose que cette valeur négative soit —p, on a donc trouvé $x=-p$, équation dans laquelle p est une quantité absolue : soit cette quantité absolue $p=m-n$, m et n étant aussi des quantités absolues. Nous aurons par conséquent $m>n$ ; mais, puisqu’au contraire dans la mise en équation on a considéré x comme une quantité absolue, on a donc aussi supposé que sa valeur —p était une quantité absolue, c’est-à-dire qu’on a regardé $-(m-n){\text{ ou }}(n-m)$ comme une quantité absolue. On a donc supposé $n>m$, tandis qu’au contraire on a réellement, comme on l’a vu ci-dessus, $m>n$. Donc la fausse supposition qui a été faite consiste en ce que des deux quantités m, n, dont p est la différence, la plus grande m a été prise pour la plus petite et la plus petite pour la plus grande : et puisque cette quantité absolue p n’est autre chose que la valeur —p trouvée pour l’inconnue, en faisant abstraction du signe, il s’ensuit que toute valeur négative, etc. ; ce qu’il fallait démontrer.

6. On ne peut pas dire précisément que l’équation $x=-p$ soit fausse, puisqu’elle exprime exactement les conditions proposées et les hypothèses sur lesquelles le calcul est établi ; mais ce sont ces conditions elles-mêmes ou ces hypothèses qui, étant contradictoires entre elles, empêchent que le résultat du calcul ne puisse avoir lieu sans modifications. Il s’agit donc de trouver quelles sont les modifications propres à rendre ce résultat explicite, sans en altérer l’exactitude, c’est-à-dire propres à le dégager des quantités inintelligibles qu’il contient ou des opérations inexécutables qu’il indique. Or pour cela il y a deux corrections à faire : la première consiste à changer le signe de l’inconnue dans les expressions algébriques qui la contiennent, afin que sa valeur dans l’équation finale devienne