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système primitif, c’est-à-dire du premier quart de circonférence sur lequel les raisonnements ont été établis. Autrement ces formules, qui étaient exactes pour ce premier quadrans, ne le seraient pas pour le second, comme cela se prouve évidemment en cherchant directement parla synthèse les formules relatives à ce second quadrans.

En supposant d’une part, comme on le fait ordinairement, que les formules immédiatement applicables aux angles aigus le sont également aux angles obtus, et de l’autre, que le cosinus des angles obtus est négatif, on fait tout à la fois deux fausses suppositions ; mais ces fausses suppositions se corrigent l’une par l’autre : car si l’on nomme a l’angle aigu, on aura $\cos a=1-\operatorname {sinverse} a$ ; ainsi, en supposant que la même formule s’applique à l’angle obtus, on suppose également que le cosinus de celui-ci est $1-\operatorname {sinverse} a$, tandis qu’au contraire il est réellement $\operatorname {sinverse} a-1$. On met donc dans le calcul $1-\operatorname {sinverse} a$ au lieu de $\operatorname {sinverse} a-l$, ou $1-\operatorname {sinverse} a$ au lieu de $-(1-\operatorname {sinverse} a)$, ou $\cos a$ au lieu de $-\cos a$.

Mais, comme, en vertu de la seconde supposition, le cosinus d’un angle obtus est regardé comme négatif, c’est-à-dire comme devant changer de signe dans le résultat du calcul, on remet dans ce résultat $-\cos a$ au lieu de $\cos a$. De sorte que par les deux opérations successives on met d’abord $\cos a$ au lieu de $-\cos a$, et ensuite $-\cos a$ au lieu de $\cos a$, ce qui revient au même que si l’on n’avait rien changé. Mais on y a trouvé ainsi l’avantage de n’employer dans le cours du calcul qu’une même formule pour l’angle aigu et pour l’angle obtus.

13. De même pour les courbes, en regardant comme immédiatement applicable aux quatre régions l’équation qui n’est immédiatement applicable qu’à une seule, on fait dans le cours du calcul une fausse supposition, mais on corrige cette fausse supposition dans le résultat de ce calcul, en y regardant comme négatives, c’est-à-dire comme portant le signe contraire à celui qu’elles devraient avoir, les coordonnées qui se trouvent, par rapport à leur axe, du côté opposé à celui pour lequel l’équation se trouvait en effet immédiatement applicable.

Tout cela se prouve facilement par la transformation des coordonnées, mais il est inutile de recommencer à chaque fois