théorème
34. Pour être certain qu’une équation est nécessairement et rigoureusement exacte, il suffit de s’assurer :
1o. Quelle a été déduite d’équations vraies ou du moins imparfaites, par des transformations qui ne leur ont point ôté le caractère d’équations au moins imparfaites ;
2o Qu’elle ne renferme plus aucune quantité infinitésimale, c’est-à-dire aucune quantité autre que celles dont on s’est proposé de trouver la relation.
Démonstration. Puisque, par hypothèse, les transformations qu’on a pu faire subir aux équations d’où l’on est parti ne leur ont point ôté le caractère d’équations au moins imparfaites, ces équations ne peuvent se trouver affectées que d’erreurs susceptibles d’être rendues aussi petites qu’on le veut.
Mais, d’un autre côté, ces équations ne peuvent plus être de celles que j’ai nommées imparfaites ; car celles-ci ne peuvent exister qu’entre quantités qui contiennent quelque chose d’arbitraire puisque par leur définition même l’erreur peut en être supposée aussi petite qu’on le veut. Or, par hypothèse, toutes les quantités arbitraires sont éliminées, puisqu’il ne reste plus que celles dont on s’est proposé de trouver la relation.
Donc les nouvelles équations ne peuvent être absolument fausses, c’est-à-dire affectées d’erreurs qui ne puissent être rendues aussi petites qu’on le veut, ni de celles que j’ai nommées imparfaites. Donc elles sont nécessairement et rigoureusement exactes. Ce qu’il fallait démontrer.
corollaire premier
35. Que les équations dont il s’agit soient exprimées par des symboles algébriques, ou qu’elles soient suppléées par des propositions exprimées en langage ordinaire, la démonstration précédente a toujours lieu. Donc si, pour arriver à la solution d’une question quelconque, on établit ses raisonnements sur des propositions telles, que les erreurs qui pourraient en résulter soient aussi petites qu’on le veut, et qu’enfin, de conséquences en conséquences semblables, on parvienne à des pro-
