des prismes inscrits. Mais il est clair que la différence de chaque prisme circonscrit au prisme inscrit de la même tranche est le produit de la différence des deux bases par la hauteur de la tranche. Donc la somme des prismes circonscrits aux tranches de l’une des pyramides, moins la somme des prismes inscrits aux mêmes tranches, est le produit de la hauteur de l’une quelconque des tranches par la somme des différences entre les grandes et les petites bases. Or, si l’on fait la projection de toutes ces différences sur la base même de la pyramide, on verra facilement que ces projections couvrent exactement cette base. Donc la somme des prismes circonscrits, moins la somme des prismes inscrits, équivaut à la base même de la pyramide, multipliée par la hauteur de l’une quelconque des tranches. Or cette hauteur est aussi petite qu’on le veut ; donc la somme des prismes circonscrits ne diffère qu’infiniment peu de la somme des prismes inscrits dans la même pyramide.
Maintenant si l’on compare les prismes inscrits et circonscrits dans chaque pyramide aux prismes correspondants de l’autre, on trouvera qu’ils ont tous respectivement mêmes bases et même hauteur. Donc ils sont respectivement égaux. Donc la somme de ceux d’une des pyramides est égale à la somme de ceux de l’autre.
Mais chaque pyramide elle-même est moindre que la somme des prismes circonscrits et plus grande que la somme des prismes inscrits. Donc, puisque ces sommes sont toutes ou égales ou infiniment peu différentes les unes des autres, les pyramides elles-mêmes sont infiniment peu différentes l’une de l’autre. Donc, en faisant abstraction des quantités infiniment petites à l’égard des pyramides entières, on peut dire que ces pyramides sont égales. Et, comme cette dernière proposition est entièrement dégagée de toute considération de l’infini, elle est nécessairement et rigoureusement exacte. Donc deux pyramides de mêmes bases et de même hauteur sont égales entre elles.
problème iii.
42. Prouver que l’aire d’une zone sphérique est égale à l’aire de la portion correspondante du cylindre qui lui est circonscrit.
