Soient AGB (fig. 3) la demi-circonférence génératrice de la surface sphérique proposée, C le centre, AB le diamètre, ADEB le quadrilatère générateur du cylindre circonscrit, mr une portion infiniment petite de la demi-circonférence génératrice, smp, trq des perpendiculaires sur le diamètre AB, prolongées jusqu’à sa parallèle DE, mn une perpendiculaire menée du point m sur trq, Cm le rayon mené au point m. Je vais d’abord prouver que la zone engendrée par le petit arc mr est égale à l’aire de l’anneau cylindrique engendré par pq.
Pour cela je considère le cercle comme un polygone d’une infinité de côtés, et l’arc mr comme l’un de ces côtés. Cela posé, les triangles semblables mnr, msc, donnent ; ou parce que l’on a , et que les circonférences qui ont pour rayons ms, mC sont entre elles comme ces rayons, , ou .
Mais il est évident que le premier membre de cette équation diffère infiniment peu de l’aire convexe du petit cône tronqué engendré par le trapèze mstr, ou de la petite zone engendrée par l’arc mr considéré comme ligne droite ; et que le second membre est l’aire de l’anneau cylindrique qui lui correspond. Donc l’aire de la petite zone est égale à celle du petit anneau.
Cette égalité n’étant point dégagée de l’infini, nous ne pouvons encore savoir si elle est exacte ou seulement imparfaite ; mais comme nous pouvons appliquer à toutes les zones infiniment petites ce que nous avons dit de la première, nous en conclurons que généralement une zone quelconque de grandeur déterminée est égale à la portion de surface cylindrique qui lui correspond, proposition qui, étant entièrement dégagée de l’infini, est nécessairement et rigoureusement exacte.
problème iv.
43. Prouver que le volume du paraboloïde est la moitié du cylindre de même base et de même hauteur.
Soient (fig. 4) AmnC la parabole génératrice, TApD son axe, Ap l’abscisse répondant au point m, pm l’ordonnée, Tp la sous-tangente, qn une seconde ordonnée infiniment proche de la première, Ars la tangente au sommet, mr, ns deux perpendi-
