49. Or il est aisé de concevoir combien les règles de ces calculs, une fois trouvées, peuvent aider à résoudre les diverses questions qu’on peut se proposer. Car toute question se réduit à trouver la relation qui existe entre certaines quantités désignées. Or, si je ne puis apercevoir immédiatement cette relation, je cherche naturellement à y parvenir par l’entremise de quelques quantités auxiliaires : mais de toutes les quantités auxiliaires, l’usage apprend qu’aucune ne donne lieu à plus de simplifications que celles qu’on nomme infinitésimales ; il est donc naturel de les introduire autant que possible dans les combinaisons. Alors il arrive, ou qu’elles s’éliminent d’elles-mêmes à la manière des quantités algébriques ordinaires, et, dans ce cas, tous les procédés suivis dans le cours des opérations appartiennent à ce qu’on nomme calcul différentiel ; ou il faudra recourir à certaines transformations inusitées dans l’algèbre ordinaire, mais dont l’objet est toujours d’éliminer ces auxiliaires appelées infinitésimales, et ces transformations sont de la compétence de ce qu’on nomme calcul intégral.
Le premier de ces calculs est beaucoup plus facile que le second, parce qu’il ne renferme, à proprement parler, aucun procédé qui ne lui soit commun avec l’ancienne analyse : mais le calcul intégral exige des procédés fort différents et qui sont loin encore d’être complets, malgré les travaux des savants du premier ordre qui s’en sont occupés. Mon objet ici n’est que de faire connaître l’esprit de ces méthodes et d’indiquer la marche générale de ces calculs. Je commencerai par le calcul différentiel, comme le plus simple, et comme indispensable pour parvenir à la connaissance du calcul intégral, mais en me restreignant aux premières notions, pour l’un comme pour l’autre.
du calcul différentiel.
50. Nous avons dit que la différentielle d’une quantité variable était la différence infiniment petite du second état de cette variable avec le premier : il s’agit donc de trouver cette différentielle pour tous les cas possibles, c’est-à-dire pour toutes les fonctions possibles des variables proposées, telles que x, y, z, etc., dont les différentielles particulières sont déjà exprimées par dx, dy, dz, etc.
