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Il faut d’abord examiner quelle distinction nous devons mettre entre l’opération par laquelle on prendrait une différence ordinaire ou finie, et celle par laquelle on doit se borner à prendre une différentielle, ou une différence infiniment petite. Si nous considérons le système proposé dans deux états quelconques déterminés différents l’un de l’autre, la différence des deux valeurs de la même quantité prise dans les deux systèmes sera également déterminée et ne pourra par conséquent être supposée aussi petite qu’on le voudra ; ainsi l’on ne pourrait rien y négliger sans commettre des erreurs qu’on ne serait plus à même de rectifier. Mais si les deux systèmes sont supposés se rapprocher l’un de l’autre autant qu’on le veut, la différence des deux valeurs de la même variable pourra être rendue aussi petite qu’on le voudra, elle deviendra ce qu’on nomme une différentielle et ne sera autre chose que la différence ordinaire simplifiée par la suppression des quantités qui, dans son expression, pourraient se trouver infiniment petites, relativement aux autres termes dont elle est composée. Tel est le principe général de la différentiation.

51. Il suit évidemment de ce principe général que pour différentier une quantité ou une fonction quelconque de cette quantité ou de plusieurs quantités combinées, que j’exprimerai par $\varphi (x,y,z,{\text{etc.}})$, il n’y a qu’à la considérer dans le second état, c’est-à-dire lorsque x, y, z, etc., devenant respectivement $x+dx,y+dy,z+dz,{\text{etc.}}$, cette fonction devient elle-même $\varphi (x+dx,y+dy,z+dz,{\text{etc.}})$, retrancher de cette fonction ainsi accrue ce qu’elle était d’abord, c’est-à-dire $\varphi (x,y,z,{\text{etc.)}}$, ce qui donnera pour la différence de la fonction proposée,

$\varphi (x+dx,y+dy,z+dz,{\text{etc.}})-\varphi (x,y,z,{\text{etc.}})$ ;

et alors pour passer de cette différence à la différentielle, il n’y aura plus qu’à réduire l’expression en y négligeant les quantités qui se trouveraient infiniment petites vis-à-vis de celles auxquelles elles seraient ajoutées ou dont elles seraient retranchées. Il ne nous reste donc plus qu’à appliquer cette formule générale à chaque cas particulier.

Soit proposé de différentier la somme a + b + x + y + z de plusieurs