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est infiniment petit relativement à chacun des deux autres, puisqu’en le divisant par le premier il donne${\frac {dx}{x}}$et par le second${\frac {dy}{y}}$qui sont évidemment l’une et l’autre des quantités infiniment petites. Donc ce troisième terme doit être négligé vis à vis des autres ; donc la formule se réduit à

$dxy=xdy+ydx$.

On trouverait pareillement

$dxyz=xydz+xzdy+yzdx$ ;

et de même pour un plus grand nombre de facteurs, d’où suit cette règle : Pour différentier le produit de plusieurs facteurs variables, il faut prendre la somme des différentielles de chaque variable, multipliées chacune par le produit de toutes les autres variables.

54. Soit proposé de différentier la fraction ${\frac {x}{y}}$.

Suivant la formule générale, la différence sera ${\frac {x+dx}{y+dy}}-{\frac {x}{y}}$ ou en réduisant au même dénominateur${\frac {ydx-xdy}{y^{2}+ydy}}$ ; or, comme ce n’est point la différence absolue qu’on demande, mais seulement la différentielle, il faut effacer de cette expression la quantité ydy au dénominateur, parce qu’elle se trouve infiniment petite relativement à l’autre terme $y^{2}$. Donc on aura

$d{\frac {x}{y}}={\frac {ydx-xdy}{yy}}$,

c’est-à-dire qu’en général la différentielle d’une fraction est égale au dénominateur de cette fraction multiplié par la différentielle du numérateur, moins le numérateur multiplié par la différentielle du dénominateur ; le tout divisé par le carré du dénominateur.

55. Soit proposé de différentier $x^{m}$.

Si l’on fait successivement m = 2, m = 3, m = 4, etc., on