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pourra regarder $x^{m}$ comme le produit de x multipliée par elle-même une fois, deux fois, trois fois, etc. ; ainsi on pourra y appliquer la règle établie (53), d’où l’on tirera en général

$dx^{m}=mx^{m-1}dx$.

Si l’on suppose successivement $m=-1,m=-2,m=-3,$ etc., ou, ce qui revient au même, si l’on veut différentier les quantités ${\frac {1}{x}},{\frac {1}{x^{2}}},{\frac {1}{x^{3}}}$, etc., il n’y aura qu’à leur appliquer la règle trouvée ci-dessus pour différentier les fractions, et l’on parviendra également à la formule

$dx^{m}=mx^{m-1}dx$.

Si l’on suppose que l’exposant m soit une fraction${\frac {p}{q}}$, on fera ${x}^{\frac {p}{q}}=z$ ; élevant chaque membre à la puissance q, on aura $x^{p}=z^{q}$ et différentiant chaque membre par la règle ci-dessus, on aura

$px^{p-1}dx=qz^{q-1}dz$ ;

d’où je tire

$dz={\frac {px^{p-1}dx}{q{z}^{q-1}}}$ ;

substituant dans le second membre pour z sa valeur $x^{\frac {p}{q}}$, on aura

$dz={\frac {px^{p-1}dx}{qx^{p-{\frac {p}{q}}}}}={\frac {p}{q}}x^{{\frac {p}{q}}-1}dx=m.x^{m-1}.dx$,

qui est encore la même formule que ci-dessus.

C’est-à-dire donc que généralement la différentielle d’une puissance quelconque positive ou négative, entière ou fractionnaire, est le produit de l’exposant de la puissance par la variable élevée à une puissance moindre d’une unité que la puissance donnée, le tout multiplié par la différentielle de la variable.

56. Si les quantités proposées étaient affectées de radicaux, on commencerait par les convertir en quantités affectées d’exposants.