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Ainsi les règles précédentes suffiront pour différentier toutes les quantités algébriques. Mais les quantités dont les exposants sont variables n’y sont pas comprises ; cependant elles n’en sont pas moins susceptibles de différentiation, ainsi que les autres quantités auxquelles on a donné le nom de transcendantes, telles que les quantités logarithmiques et angulaires. Nous allons parcourir les règles qui ont été trouvées pour cela.

57. Proposons-nous de différentier $a^{x}$, a étant une quantité constante et x un exposant variable.

Suivant le principe général, la différentielle cherchée sera

$a^{x+dx}-a^{x}{\text{, ou }}a^{x}.a^{dx}-a^{x}{\text{, ou }}a^{x}\,(a^{dx}-1)$,

c’est-à-dire qu’on aura

$da^{x}=a^{x}\,(a^{dx}-1)\ldots$

(A)

Mais pour rendre cette équation utile, il faut faire en sorte que la quantité infiniment petite dx ne soit point employée en exposant.

Pour cela je fais $a=1+b$, j’aurai donc

$a^{d}x=(1+b)^{dx}$,

ou, en développant par la formule du binôme de Newton,

$a^{dx}=1+dxb+{\frac {dxb^{2}(dx-1)}{2}}+{\frac {dxb^{3}(dx-1)(dx-2)}{2.3}}+{\text{etc.}}$,

et comme la quantité infiniment petite dx disparaît devant les nombres finis 1, 2, 3, etc., l’équation, en transposant le premier terme du second membre, se réduit à

$a^{dx}-1=dx\,\left(b-{\frac {b^{2}}{2}}+{\frac {b^{3}}{3}}+{\frac {b^{4}}{4}}+{\text{etc.}}\right)$

Substituant donc cette valeur de $a^{dx}-1$ dans la formule (A), et remettant pour b sa valeur $a-1$, on aura

$da^{x}=a^{x}dx[(a-1)-{\tfrac {1}{2}}(a-1)^{2}+{\tfrac {1}{3}}(a-1)^{3}-{\text{etc.}}]\ldots$

(B)

58. La différentiation des quantités exponentielles, qu'on