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vient de voir, donne le moyen de différentier aussi les quantités logarithmiques. En effet, suivant la définition générale des logarithmes, on a, quelle que soit la base a du système, $x=\log {a^{x}}$, donc $dx=d\log {a^{x}}$. Substituant cette valeur de dx dans l’équation (B), on aura

$da^{x}=a^{x}d\log {a^{x}}[(a-1)-{\tfrac {1}{2}}(a-1)^{2}+{\tfrac {1}{3}}(a-1)^{3}-{\text{etc.}}]$ ;

d’où, en faisant $a^{x}=y$, on tire

$d\log y={\frac {dy}{y}}{\frac {1}{[(a-1)-{\tfrac {1}{2}}(a-1)^{2}+{\tfrac {1}{3}}(a-1)^{3}-{\text{etc.}}]}}$

Supposant donc, pour abréger, que ce dernier facteur, qui est constant, soit représenté par m, on aura pour un système quelconque de logarithmes,

$d\log y={\frac {mdy}{y}}\ldots$

(C)

Le nombre m, qui est, comme l’on voit, une fonction connue de la base a du système logarithmique, est ce que l’on nomme module de ce système.

Le cas le plus simple est celui où l’on suppose $m=1$, ce qui réduit la formule (C) à

$d\log y={\frac {dy}{y}}$.

C’est pourquoi les logarithmes de ce système se nomment logarithmes naturels ou logarithmes népériens, du nom de leur célèbre inventeur, le baron de Néper ; ou encore logarithmes hyperboliques, à cause de leur connexion avec la quadrature des portions de la surface comprise entre l’hyperbole équilatère et ses asymptotes.

59. Puisque nous avons fait en général

$m={\frac {1}{(a-1)-{\tfrac {1}{2}}(a-1)^{2}+{\tfrac {1}{3}}(a-1)^{3}-{\text{etc.}}}}$,

nous aurons pour les logarithmes naturels, c'est-à-dire pour le cas où $m=1$,

$(a-1)-{\tfrac {1}{2}}(a-1)^{2}+{\tfrac {1}{3}}(a-1)^{3}-{\text{etc.}}=1$,