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ce qui donne par approximation

$a=2{,}718281828459045\ldots$,

c’est-à-dire que la base des logarithmes naturels, ou le nombre dont le logarithme est 1 dans ce système, est à très-peu près le nombre précédent, qu’on est convenu de représenter en général par la lettre e dans les calculs algébriques. Ainsi dans ce système on a $x=\log e^{x}$,

$e=2{,}718281828459045\ldots$

Mais nos Tables ordinaires de logarithmes, faites principalement pour l’usage de l’arithmétique, sont calculées sur une autre base. Notre numération étant décimale, on y suppose $a=10$, c’est-à-dire qu’on y suppose $x=\log 10^{x}$; on y suppose donc successivement

$10^{x}=1,10^{x}=2,10^{x}=3,{\text{etc.}}$,

et les valeurs de x qui satisfont à ces équations sont les logarithmes des nombres naturels 1, 2, 3, 4, etc.

En substituant cette valeur 10 de la base dans l'équation trouvée ci-dessus,

$m={\frac {1}{(a-1)-{\tfrac {1}{2}}(a-1)^{2}+{\tfrac {1}{3}}(a-1)^{3}-{\text{etc.}}}}$,

on a par approximation

$m=0{,}43429448\ldots$

C'est-à-dire que ce nombre est le module des Tables ordinaires.

60. Tous les systèmes possibles de logarithmes ont entre eux une liaison intime, de manière que ces logarithmes étant supposés calculés pour un certain système, il suffit de les multiplier tous par un même nombre pour passer à un autre.

En effet, soit K un nombre quelconque, $\log \mathrm {K}$ le logarithme de ce nombre pris dans un système dont la base soit a, et $\log '\mathrm {K}$ le logarithme du même nombre pris dans un autre système dont la base soit a’. Nous aurons donc

$\mathrm {K} =a^{\log \mathrm {K} },\mathrm {K} =a'\;^{\log '\mathrm {K} }$,