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Donc

$a^{\log \mathrm {K} }=a'^{\log '\mathrm {K} }$

Prenant les logarithmes dans le système dont la base est a, on aura

$\log a^{log\mathrm {K} }=\log a'^{\log '\mathrm {K} }$,

ou

$\log \mathrm {K} .\log a=\log '\mathrm {K} .\log a'$.

Donc

$\log \mathrm {K} :\log '\mathrm {K} ::\log a':\log a$.

Mais par la même raison on aurait pour tout autre nombre K’ :

$\log \mathrm {K} ':\log '\mathrm {K} '::\log a':\log a$.

Donc

$\log \mathrm {K} :\log '\mathrm {K} ::\log \mathrm {K} ':\log '\mathrm {K} '$,

ou enfin

$\log \mathrm {K} :\log \mathrm {K} '::\log '\mathrm {K} :\log '\mathrm {K} '$.

Donc les logarithmes des deux nombres pris dans le premier système sont entre eux comme les logarithmes des mêmes nombres pris dans le second.

61. Cette quantité constante par laquelle il faut multiplier tous les logarithmes d’un système pour avoir ceux d’un autre, est facile à trouver ; car la proportion trouvée ci-dessus

$\log \mathrm {K} :\log '\mathrm {K} ::\log a':\log a$

donne

$\log '\mathrm {K} ={\frac {\log a}{\log a'}}\log \mathrm {K}$,

ou plus simplement, à cause de $\log a=1$,

$\log '\mathrm {K} ={\frac {1}{\log a'}}\log \mathrm {K}$ ;

c’est-à-dire que la quantité constante par laquelle il faut multiplier les logarithmes d’un système pour avoir ceux d’un autre, est l’unité divisée par le logarithme de la base de cet autre système pris dans le premier.