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62. Si l’on différentie l’équation précédente, d’après le principe général établi (58) elle donnera

${\frac {md\mathrm {K} }{\mathrm {K} }}={\frac {1}{\log a'}}.{\frac {d\mathrm {K} }{\mathrm {K} }}$ ou $\log a'={\frac {1}{m}}$

Ainsi, au lieu de diviser les logarithmes népériens par $\log a'$, pour avoir ceux d’un autre système quelconque, il n’y a qu’à les multiplier par m, c'est-à-dire par le module de ce système.

Or nous avons trouvé ci-dessus (59) pour le module des Tables ordinaires, $m=0{,}43429448$. C’est donc par ce nombre qu’il faut multiplier les logarithmes naturels ou népériens pour avoir les logarithmes tabulaires.

Donc réciproquement si on a les Tables ordinaires calculées, il faudra diviser chacun des logarithmes de ces Tables par 0,43429448 pour retrouver les logarithmes naturels, ou, ce qui revient au même, les multiplier tous par 2,30258509, qui est égal à${\frac {1}{0{,}43429448}}$et d’après l’équation trouvée ci-dessus, $\log a'={\frac {1}{m}}$, ce dernier nombre doit être le logarithme de 10 pris dans les Tables népériennes.

63. Nous venons de voir que a’ exprimant la base d'un système quelconque de logarithmes, et m son module, on a $\log a'={\frac {1}{m}}$ ou $m={\frac {1}{\log a'}}$, $\log a'$ exprimant le logarithme népérien de a’. Donc dans tout système le module n’est autre chose que l’unité divisée par le logarithme népérien ou naturel de la base logarithmique de ce système.

Si donc nous reprenons les dénominations de l'article 58, c'est-à-dire que nous exprimions par a la base d'un système quelconque de logarithmes, et par m son module, nous aurons $m={\frac {1}{\log a}}$, $\log a$ désignant le logarithme naturel de a, et non le logarithme pris dans le système dont a est la base et m le module.

Mais nous avons vu (59) qu'on a aussi généralement entre le