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module et la base d’un système quelconque :

$m={\frac {1}{(a-1)-{\tfrac {1}{2}}(a-1)^{2}+{\tfrac {1}{3}}(a-1)^{3}-{\text{etc}}.}}$

Donc en général on a

$\log a=(a-1)-{\tfrac {1}{2}}(a-1)^{2}+{\tfrac {1}{3}}(a-1)^{3}-{\text{etc.,}}\ldots$

(D)

$\log a$ exprimant toujours le logarithme népérien de a, ce qui donne une formule générale pour calculer les logarithmes de ce système.

Si dans cette formule on met pour a sa valeur $1+b$ (57) elle deviendra

$\log(1+b)=b-{\tfrac {1}{2}}b^{2}+{\tfrac {1}{3}}b^{3}-{\text{etc.}}$.

Si dans cette équation on fait b négatif, elle deviendra

$\log(1-b)=-b-{\tfrac {1}{2}}b^{2}-{\tfrac {1}{3}}b^{3}-{\text{etc.}}$;

retranchant cette équation de la précédente, et observant que

$\log(1+b)-\log(1-b)={\frac {\log(1+b)}{\log(1-b)}}$,

on aura

${\frac {\log(1+b)}{\log(1-b)}}=2(b+{\tfrac {1}{2}}b^{2}+{\tfrac {1}{3}}b^{3}+{\tfrac {1}{4}}b^{4}+{\text{etc.,}})\ldots$

(F)

formule très connue qui donne le moyen de construire avec facilité les Tables des logarithmes naturels.

64. D’après ce qui a été dit (57 et 58), nous pouvons facilement différentier toute quantité, soit exponentielle, soit logarithmique ; mais nous observerons que les logarithmes naturels ou népériens sont les seuls qu’on emploie en algèbre, comme étant les plus simples ; que la lettre e est généralement prise pour représenter la base de ce système, c’est-à-dire le nombre dont le logarithme est 1, et qu’enfin ce nombre est 2,71828182845, à très-peu près (59). Cela posé :

Soit proposé de différentier $\log x$, nous aurons $d\log x={\frac {dx}{x}}$ ce qu’on exprime ainsi $d\;\mathrm {l} \;x={\frac {dx}{x}}$.