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On trouvera de même

$d\;\mathrm {l} \;(a+x)={\frac {dx}{a+x}}$ ; $d\;\mathrm {l} \;{\frac {a}{a+x}}=-{\frac {dx}{a+x}}$ ;

$d\;\mathrm {l} \;{\frac {x}{y}}={\frac {dx}{x}}-{\frac {dy}{y}}$ ; $d\;\mathrm {l} \;{\frac {a+x}{a-x}}={\frac {dx}{a+x}}-{\frac {dx}{a-x}}$ ;

$d\;\mathrm {l} \;(aa+xx)={\frac {2xdx}{aa+xx}}$.

Soit proposé de différentier $e^{x}$ ; nous aurons

$de^{x}=e^{x}dx$ ;

soit proposé de différentier $a^{x}$ ; on aura

$da^{x}=a^{x}dx\;\mathrm {l} \;a$ ;

pareillement on trouvera

$dx^{y}=x^{y}\left(dy\;\mathrm {l} \;x+{\frac {ydx}{x}}\right)$ ;

$d(aa+xx)^{x}=(aa+xx^{x}dx\left[\mathrm {l} \;(aa+xx)+{\frac {2x^{2}dx}{aa+xx}}\right]$, etc.

D’après tout ce qui vient d’être dit sur les quantités exponentielles et logarithmiques, on voit que leur différentiation se réduit aux deux règles suivantes, qui, dérivent l’une de l’autre (57 et 58).

1^o. La différentielle du logarithme d’une quantité quelconque est égale à la différentielle de cette quantité, divisée par cette même quantité.

2^o. La différentielle d’une quantité exponentielle se trouve en multipliant cette quantité exponentielle par la différentielle de son logarithme.

Je passe à la différentiation des quantités angulaires.

65. Soit proposé de différentier $\sin x$, x étant un arc quelconque de cercle dont le rayon est 1.

Suivant le principe général de la différentiation, on doit avoir

${\begin{aligned}d\sin x&=\sin(x+dx)-\sin x&\\&=\sin x\cos dx+\sin dx\cos x-\sin x.\end{aligned}}$.