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Mais il est aisé de voir que, 1^o le cosinus d’un arc infiniment petit ne diffère du rayon que d’une quantité infiniment petite du second ordre, puisque cette quantité est le sinus verse, et que le sinus verse est égal au carré du sinus qui est une quantité infiniment petite du second ordre, divisé par le diamètre moins le même sinus verse, qui est une quantité finie ; d’où suit d’abord qu’on peut supposer $\cos dx=1$, et par conséquent $\sin x\cos dx=\sin x$ ; 2^o la circonférence pouvant être considérée comme un polygone d’une infinité de côtés, $\sin dx{\text{et}}dx$ diffèrent infiniment peu l’un de l’autre, puisque dx est l’hypoténuse d’un triangle rectangle ; donc un des petits côtés est $\sin dx$, et l'autre cosinus verse dx, qui est un infiniment petit du second ordre.

Donc l’équation trouvée ci-dessus se réduit à

$d\sin x=dx\cos x$.

Soit proposé de différentier $\cos x$.

Suivant le principe général de la différentiation, on doit avoir

${\begin{aligned}d\cos x&=\cos(x+dx)-\cos x&\\&=\cos x\cos dx-\sin x\sin dx-\cos x{\text{,}}\end{aligned}}$

équation qui, d’après les observations ci-dessus, se réduit à

$d\cos x=-dx\sin x$.

Soit proposé de différentier $\tan x$. On a

$\tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}$,

donc

$d\tan x=d{\frac {\sin x}{\cos x}}$,

équation qui se réduit à

$d\tan x={\frac {dx}{\cos {x^{2}}}}$,

et comme

$\cot x={\frac {\cos x}{\sin x}}$,

on trouvera de même

$d\cot x={\frac {-dx}{\sin {x^{2}}}}$.