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66. En appliquant ces règles principales à d’autres exemples, on trouvera :

${\begin{aligned}d\sin mx&=mdx\cos {mx}{\text{,}}\\d\cos mx&=-mdx\sin {mx}{\text{,}}\\d\sin {x^{m}}&=mdx\cos x\sin {x^{m-1}}{\text{,}}\\d\cos {x^{m}}&=-mdx\sin x\cos {x^{m-1}}{\text{,}}\\d\tan {mx}&={\frac {mdx}{\cos {mx^{2}}}}{\text{,}}\\d\cot {mx}&={\frac {-mdx}{\sin {mx^{2}}}}{\text{,}}\\d\tan {x^{m}}&={\frac {m^{2}dx\tan {x^{m-1}}}{\cos {x^{2}}}}{\text{,}}\\d\cot {x^{m}}&={\frac {-m^{2}dx\cot {x^{m-1}}}{\sin {x^{2}}}}{\text{.}}\\\end{aligned}}$

67. D’après ce qui a été dit sur la différentiation des quantités de toutes espèces, il est évident que la différentielle d’une quantité qui ne renferme qu’une seule variable x, doit avoir pour l’un de ses facteurs la différentielle dx, puisqu’elle doit se réduire à zéro en faisant $dx=0$. Mais aucun des termes ne doit se trouver multiplié par les puissances supérieures de dx, parce que ces termes, étant infiniment petits relativement aux autres, ont dû être négligés.

Par la même raison, si la fonction contient plusieurs variables x, y, z, la différentielle ne peut contenir que des termes multipliés par dx, dy, dz, à la première puissance seulement, et il ne doit s’en trouver aucun qui ait pour facteur ces différentielles élevées à des puissances supérieures ou multipliées les unes par les autres.

La somme des termes qui ont pour facteur commun dx, composent la différentielle de la fonction proposée relativement à x, c'est-à-dire en regardant x seule comme variable ; et de même pour la somme des termes qui ont pour facteurs communs dy, dz, etc.

Donc la différentielle totale de la fonction proposée n’est autre chose que la somme des différentielles partielles que