l’on obtient en faisant varier cette fonction successivement par rapport à chacune des variables qui s’y trouvent.
Pour exprimer ces différentielles partielles, on emploie la notation suivante. Soit P une fonction de x, y, z, etc. La différentielle partielle de cette fonction prise par rapport à x s’exprime ainsi ; de même exprime la différentielle de la fonction P par rapport à y ; ainsi des autres : de sorte qu’on a
68. Au lieu de considérer le système des quantités variables dans deux états consécutifs, comme nous l’avons fait jusqu’à présent, nous pouvons le considérer successivement dans deux, trois, quatre ou un plus grand nombre d’états consécutifs, tous infiniment peu différents les uns des autres. Alors à mesure que le premier des systèmes auxiliaires se rapproche du système proposé, les autres s’en rapprocheront aussi ; tellement que si ce premier système auxiliaire vient à coïncider avec le système proposé, tous les autres coïncideront en même temps, et toutes les différentielles de l’un de ces systèmes à l’autre s’évanouiront à la fois.
Les différences infiniment petites des quantités du premier système auxiliaire aux quantités correspondantes du système désigné ne sont pas les mêmes que celles des quantités du second système auxiliaire à celles du premier ; et de même elles varieront du second au troisième, du troisième au quatrième, ainsi de suite : ainsi ces différences sont des variables qui auront, comme toutes les autres, leurs différentielles ; et en conservant toujours la caractéristique d pour exprimer la différentielle de toute espèce de quantités, la quantité ddx exprimera la quantité dont dx augmente du premier système auxiliaire au second ; de la même manière que dx exprime la quantité dont x augmente en passant du système désigné à ce premier système auxiliaire. Pareillement dddx exprimera la quantité dont ddx augmente en passant du second système auxiliaire au troisième, ainsi de suite.
Les quantités dx, ddx, dddx, etc., se nomment différentielles
