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première, seconde, troisième, etc., de la quantité x. Pareillement dy, ddy, dddy, etc., sont les différentielles première, seconde, troisième, etc., de y ; ainsi des autres.

Au lieu d’écrire ddx, dddx, ddddx, etc., on écrit souvent par abréviation $d^{2}x,d^{3}x,d^{4}x$, etc., ce qui n’indique point des puissances, et ne doit pas être confondu avec $(dx)^{2},(dx)^{3},(dx)^{4}$, etc., qui sont aussi des abréviations, et signifient $dxdx,dxdxdx,dxdxdxdx$, qui sont réellement les puissances de dx, qu’on exprime encore en supprimant la parenthèse et écrivant seulement ${dx}^{2},{dx}^{3},{dx}^{4}$, etc., et qu’il faut également distinguer des quantités $d(x)^{2},d(x)^{3}$, etc., qui sont les différentielles des puissances $x^{2},x^{3},x^{4}$, etc., de x, tandis que les autres sont, au contraire, les puissances des différentielles de x.

69. Il suit de ce qui vient d'être dit, que les différentielles de tous les ordres se différentient comme toute autre variable, et qu'il ne faut point de règles particulières pour cela. Ainsi, par exemple, en différentiant xy, on trouve $xdy+ydx$ ; différentions cette différentielle, et nous aurons

$dxdy+xddy+dydx+yddx$ ;

différentions de nouveau celle-ci, et nous aurons

$3dxddy+3dyddx+xd^{3}y+yd^{3}x$ ;

ainsi de suite.

70. Il est bon d'observer que, quoique $d^{2}x{\text{et}}{dx}^{2}$ ne soient pas la même chose, ce sont cependant deux quantités infiniment petites du second ordre. Car, par exemple, la première différentielle de l'équation

$yy=2ax-xx,{\text{est}}ydy=adx-xdx$ ;

et la différentielle seconde est

$yd^{2}y+dy^{2}=ad^{2}x-xd^{2}x-dx^{2}$,

où l’on voit que l’équation ne peut être homogène, à moins que tous les termes ne soient du même ordre, c’est-à-dire tous du second.