71. Il faut encore observer que quand diverses variables sont liées par des équations, on peut toujours prendre pour constante la différentielle de l’une quelconque de ces variables, laquelle est alors prise pour terme de comparaison, et sert à régler toutes les autres. Car, par exemple, dans une courbe, nous pouvons bien supposer que les accroissements successifs de l’abscisse se font par degrés égaux infiniment petits ; alors tous les dx seront égaux, et par conséquent on aura : mais à ces degrés égaux d’accroissement de l’abscisse répondront des accroissements de l’ordonnée qui ne seront point égaux ; ainsi ddy ne sera pas zéro, et la loi suivant laquelle varieront ces dy en passant d’un système à l’autre, tandis que dx restera constant, sera précisément ce qui fera connaître la nature de la courbe, c’est-à-dire que la nature de la courbe dépendra des relations qui existeront entre les différentielles successives, dy, ddy, dddy, etc., de la variable désignée y.
Appliquons ces règles générales du calcul différentiel à quelques exemples.
72. Soit proposé de trouver la sous-tangente de la courbe qui a pour équation
Considérons la courbe proposée comme un polygone d’une infinité de côtés. Soit MN un de ces côtés (fig. 1) ; si l’on prolonge ce côté jusqu’à l'axe de la courbe en T, ce sera la tangente ; soit cet axe ou ligne des abscisses TB ; des deux extrémités M, N, du petit côté MN soient menées les ordonnées MP, NQ, infiniment proches l’une de l’autre, et du point M soit menée la petite droite MO, parallèle à l’axe et terminée à l’ordonnée MQ. La ligne TP est donc la sous-tangente cherchée.
Or il est clair qu’on a , et que les triangles semblables MNO, TMP, donnent par conséquent
Donc nous avons l’équation imparfaite
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