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Maintenant je différentie l’équation donnée pour en tirer la valeur de ${\frac {dx}{dy}}$ et la substituer dans l’équation (A). Cette équation différentiée me donne

$(m+n)ay^{m+n-1}dy=m(a-x)^{n}x^{m-1}dx-nx^{m}(a-x)^{n-1}dx$,

qui est aussi une équation imparfaite, d’où je tire

${\frac {dx}{dy}}={\frac {(m+n){ay}^{m+n-1}}{m{(a-x)}^{n}x^{m-1}-nx^{m}{(a-x)}^{n-1}}}\ldots$

(B)

Substituant cette dernière valeur de ${\frac {dx}{dy}}$ dans l’équation (A) j’aurai

$\mathrm {TP} ={\frac {(m+n)(ax-xx)}{ma-mx-nx}}$

équation qui, étant dégagée de toute considération de l’infini, est rigoureusement exacte, et me donne la valeur cherchée de la sous-tangente TP.

73. Soit proposé de déterminer les plus grandes et les plus petites ordonnées de la courbe qui a pour équation

$yy+xx=3ax-2aa+2by-bb.$

(fig. 5)

Il est clair que les plus grandes et les plus petites ordonnées de la courbe proposée sont celles qui répondent aux points où la tangente devient parallèle aux abscisses, ou, ce qui revient au même, en considérant la courbe comme un polygone d’une infinité de côtés ; ce sont les ordonnées qui répondent aux petits côtés parallèles aux abscisses : d’où il suit que l’ordonnée reste la même sur toute l’étendue de ce petit côté, c’est-à-dire qu’au point du maximum ou du minimum de cette ordonnée sa différentielle devient 0, quoique celle de l’abscisse ne le soit pas, et qu’on a par conséquent ${\frac {dy}{dx}}=0$.

Appliquons ce principe à l’équation proposée ; en la différentiant elle nous donnera l’équation imparfaite

${\frac {dy}{dx}}={\frac {3a-2x}{2y-2b'}}$