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c’est donc cette quantité qui doit être égale à 0, ce qui donne

$3a-2x=0{\text{, ou }}x={\tfrac {3}{2}}a,$.

et par conséquent

$y=b\pm {\tfrac {1}{2}}a$,

équations qui, étant dégagées de toute considération de l’infini, sont rigoureusement exactes.

74. Soit proposé de trouver le maximum ou le minimum de la fonction $ax^{3}-bxy^{2}+f^{2}z^{2}-gxyz$ des variables x, y, z.

Lorsqu’une fonction est parvenue à son maximum, elle cesse d’augmenter pour diminuer ensuite, soit que les variables particulières qui y entrent continuent d’augmenter, soit qu’elles diminuent, et lorsqu’elle est parvenue à son minimum, elle cesse nécessairement de diminuer pour augmenter ensuite, soit que les variables particulières augmentent, soit qu’elles diminuent. Ainsi dans le cas des maxima et des minima, la différentielle de la fonction est toujours égale à zéro, quoique les différentielles des variables particulières ne le soient pas.

Pour appliquer ce principe au cas proposé, je suppose d’abord qu’on ait trouvé les valeurs déterminées de y et z qui satisfont à la condition proposée, il ne restera donc plus qu’à déterminer celle de x : ce qui se fera par conséquent en différentiant la fonction proposée relativement à x seulement, égalant à zéro et divisant par dx, ce qui donnera

$3ax^{2}-by^{2}-gyz=0$.

En appliquant ce même raisonnement aux variables y et z, on aura pareillement

$2bxy-gxz=0$,

$2f^{2}z-gxy=0$,

équations qui, étant toutes indépendantes de la considération de l’infini, sont rigoureusement exactes. Telles sont donc les trois équations finies auxquelles il faut satisfaire, ce qui ramène la question proposée à l’analyse ordinaire.

Ces trois différentiations successives reviennent évidemment au même que si l’on différentiait la fonction par rapport à