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à toutes les variables à la fois, et qu’on égalât à 0 le coefficient différentiel de chacune de ces variables.

75. Soit proposé de trouver le point d’inflexion de la courbe qui a pour équation $b^{2}y=ax^{2}-x^{3}$, si elle en a un.

Soit ABMN (fig. 6) la courbe proposée, que AP soit l’abscisse et MP l’ordonnée, correspondantes au point d’inflexion cherché M. Soit menée un tangente MK à ce point d’inflexion, il est visible que l’angle KMP est un maximum, c’est-à-dire plus grand que l’angle LNQ, formé par une autre tangente quelconque NL et l’ordonnée correspondante NQ ; donc la tangente trigonométrique de l’angle KMP. est aussi un maximum. Mais cette tangente trigonométrique est ${\frac {dx}{dy}}$, donc on doit avoir

$d.{\frac {dx}{dy}}=0$.

Or, la courbe ayant pour équation

$b^{2}y=ax^{2}-x^{3}$,

on a

${\frac {dx}{dy}}={\frac {{b}^{2}}{2ax-3{x}^{2}}}$ ;

donc on doit avoir

$d.{\frac {b}{2ax-3x^{2}}}=0$,

ce qui donne

$x={\frac {1}{3}}a$,

équation qui, étant dégagée de toute considération de l’infini, est rigoureusement exacte.

70. Soit proposé de trouver le rayon du cercle osculateur de la courbe qui a pour équation $yy=ax$ (fig. 7).

Soit une courbe abcdeF enveloppée d’un fil fixé par l’une de ses extrémités à l’un quelconque F des points de cette courbe, plié sur elle, et dont l’autre extrémité soit M. Si l’on conçoit maintenant que ce fil restant toujours tendu se déroule, et que son extrémité M trace une nouvelle courbe Mmm’, cette nouvelle