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courbe s’appelle développante de la première, et cette première s’appelle la développée.

La portion du fil comprise à chaque instant entre la développée et la développante se nomme rayon de la développée : ainsi, pour le point M de la développante, la droite Mb est ce qu’on nomme le rayon de la développée, mc est le rayon de la développée au point m ; ainsi de suite.

Si l’on considère la développée comme un polygone d’une infinité de côtés ab, bc, cd, etc., les petites portions Mm, mm’, etc., de la développante deviendront de petits arcs de cercle qui auront leurs centres aux points c, d, etc. ; c’est pourquoi les cercles qui ont pour rayons respectifs Mc, md, etc., et dont les petits arcs se confondent avec ceux de la développante, se nomment cercles osculateurs de cette courbe, aux lieux où ils se confondent ; ainsi les rayons des cercles osculateurs, que pour cette raison on nomme aussi rayons de courbure, ne sont autre chose que ceux de la développée.

Il s’agit donc de trouver le rayon de la développée pour un point quelconque M de la développante. Or, la grandeur d’un angle étant estimée par l’arc qui en donne la mesure lorsque le rayon est 1, il est clair que l’arc $\mathrm {M} m=\mathrm {M} c.\mathrm {M} cm\ldots$ (A) ; mais les rayons Mc, md, étant successivement perpendiculaires aux petits arcs Mm, mm’, et par conséquent à leurs tangentes respectives aux points M, m, l’angle Mcm, formé par ces rayons sera le même que celui que formeraient ces tangentes. Or, il est évident que dans une courbe quelconque l’angle formé par deux tangentes est égal à l’accroissement que reçoit, en passant de l’une à l’autre, l’angle formé par l’ordonnée avec la première de ces tangentes : donc si les deux tangentes sont infiniment proches l’une de l’autre, l’angle qu’elles formeront, et par conséquent aussi l’angle Mcm que formeront les rayons de courbure correspondants Mc, md, sera la différentielle de l’angle formé par la tangente de la courbe et l’ordonnée.

Supposant donc que MT soit la ligne tangente au point M et MP l’ordonnée, si l’on nomme R le rayon de courbure, s l’arc correspondant, x et y les coordonnées, on aura, par l’équation (A) trouvée ci-dessus,

$ds=\mathrm {R} .d\mathrm {TMP} \ldots$

(B)