Page:Carnot - Réflexions sur la métaphysique du calcul infinitésimal, 1860.djvu/70

Mais la tangente trigonométrique de l’angle TMP est ${\frac {dx}{dy}}$ (72) et l’on sait (65) que la différentielle d’un angle est égale à la différentielle de sa tangente, multipliée par le carré du cosinus, donc

$d.\mathrm {TMP} =\cos \mathrm {TMP} ^{2}.d.{\frac {dx}{dy}}={\frac {dy^{2}}{ds^{2}}}d{\frac {dx}{dy}}$,

donc l’équation (B) devient

$ds=\mathrm {R} {\frac {dy^{2}}{ds^{2}}}d{\frac {dx}{dy}}$,

d’où l’on tire

$\mathrm {R} ={\frac {ds^{3}}{dy^{2}.d{\frac {dx}{dy}}}}\ldots$

(C)

Il s’agit maintenant d’appliquer cette formule générale qui n’est qu’une équation imparfaite au cas proposé, c’est-à-dire à la courbe qui a pour équation

$yy=ax$.

En différentiant cette équation, on a

${\frac {dx}{dy}}={\frac {2y}{a}}$,

et par conséquent :

$d{\frac {dx}{dy}}={\frac {2dy}{a}}$ ;

ainsi l’équation (C) devient,

$\mathrm {R} ={\frac {ads^{3}}{2dy^{3}}}$,

ou, à cause de

$ds={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}$

$\mathrm {R} ={\frac {a.(dx^{2}+dy^{2})^{\tfrac {3}{2}}}{2dy^{3}}}={\tfrac {1}{2}}a\left({\frac {dx^{2}}{dy^{2}}}+1\right)^{\tfrac {3}{2}}$.

Substituant dans cette équation imparfaite pour ${\frac {dx}{dy}}$ sa valeur