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Si l’on veut maintenant que l’intégrale commence lorsqu’on a x=0, c’est-à-dire si l’on veut que l’intégrale $\int {\frac {adx}{x}}$ soit 0 quand x est 0, on aura

$0=a\log 0+\mathrm {C}$ ou $\mathrm {C} =-a\log 0$ ;

donc l’intégrale complète sera

$\int {\frac {adx}{x}}=a\log x-a\log 0=a\log {\frac {x}{0}}$,

c’est-à-dire qu’alors l’intégrale complète sera infinie, ce qui explique pourquoi la règle donnée ci-dessus fait trouver pour $\int {ax^{m}dx}$ une quantité infinie pour le cas où l’on a $m=-1$.

83. Puisque nous savons intégrer un monôme quelconque, nous pourrons intégrer une suite quelconque de monômes, telle que

$ax^{3}dx+{\frac {bx^{2}dx}{c}}-fdx$,

car il n’y a qu’à appliquer la règle trouvée à chacun de ces monômes en particulier. Ainsi, toujours abstraction faite de la constante, nous aurons

$\int \left(ax^{3}dx+{\frac {bx^{2}dx}{c}}-fdx\right)={\frac {ax^{4}}{4}}+{\frac {bx^{3}}{3c}}-fx$.

Il est évident que la même règle s’applique au cas où il entre dans l’expression différentielle des quantités complexes, pourvu qu’elles ne se trouvent point au dénominateur, et que leur exposant soit un nombre entier et positif, puisque alors il n’y a qu’à exécuter l’opération, c’est-à-dire élever à la puissance indiquée, pour convertir la fonction en une suite de monômes.

84. La même règle s’applique encore au cas où la fonction proposée, quoique complexe, se trouverait élevée à une puissance quelconque, fractionnaire ou négative, pourvu que la totalité des termes qui multiplie cette quantité complexe fût la différentielle de ce qui est sous l’exposant, multipliée par une constante ; car, pour ramener ce cas au premier, il n’y a