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évidemment qu’à faire cette quantité complexe égale à une nouvelle variable simple.

Soit, par exemple, proposé d’intégrer la quantité différentielle

$(a+bx)^{m}dx$,

qui contient la fonction complexe $(a+bx)^{m}$, l’exposant m pouvant être négatif ou fractionnaire : je vois que cette différentielle est intégrable, parce que le facteur dx est la différentielle de la quantité complexe qui est sous l’exposant, multipliée par une constante. En effet, soit

$(a+bx)=y$,

en différentiant, nous aurons

$bdx=dy$ ou $dx={\frac {dy}{b}}$ ;

donc la formule à intégrer devient ${\frac {{y}^{m}dy}{b}}$dont l’intégrale est ${\frac {{y}^{m-1}}{(m+1)b}}$ ; ou en remettant pour y sa valeur (a+bx) on aura

$\int (a+bx)^{m}dx={\frac {(a+bx)^{m+1}}{(m+1)b}}$.

85. Cette application de la règle peut s’étendre à tous les cas où l’exposant de la variable hors du binôme, augmenté d’une unité, se trouve divisible par l’exposant de la même variable dans le binôme, et donne pour quotient un nombre entier positif.

Soit, par exemple, proposé d’intégrer la quantité différentielle

$(a+bx^{2})^{\frac {4}{3}}x^{3}dx$.

Je vois que l’exposant 3 de la variable hors du binôme étant augmenté d’une unité devient 4, qui est exactement divisible par l’exposant 2 de la variable dans le binôme, et que le quotient est un nombre entier positif. J’en conclus que la différentielle proposée est intégrable, et que, pour obtenir cette intégrale cherchée, il n’y a qu’à faire le binôme $a+bx^{2}$ égal à une nouvelle variable. En effet, si l’on suppose $a+bx^{2}=y$,