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exécutant l’opération indiquée et ajoutant une constante, on aura

$s={\frac {8a}{27}}\left({\frac {9y}{4a}}+1\right)^{\frac {3}{2}}+\mathrm {C}$,

équation qui, étant dégagée de toute considération de l’infini, est rigoureusement exacte.

92. Soit proposé de trouver le volume du paraboloïde formé par la rotation autour de son axe de la parabole ayant pour équation

$yy=px$,

p exprimant le paramètre.

Pour trouver le volume d’un corps, nous le considérons comme formé en croissant continuellement par l’addition successive des tranches infiniment minces, comprises entre les sections perpendiculaires à l’axe, qui répondent aux accroissements infiniment petits consécutifs de l’abscisse ; de sorte que la dernière de ces tranches est la différentielle du volume cherché, et celui-ci l’intégrale de cette différentielle.

Nommant donc V le volume cherché, dV sera la valeur de la dernière tranche.

Or, d’un autre côté, en négligeant les onglets compris entre la surface extérieure du corps proposé et le petit prisme qui a pour base la plus petite des bases de la tranche, lequel est évidemment infiniment petit à l’égard de cette tranche, celle-ci se réduira à cette plus petite base multipliée par sa hauteur dx.

Donc en nommant k cette base, on a pour tous les corps cette équation imparfaite,

$d\mathrm {V} =kdx$,

et par conséquent,

$\textstyle \mathrm {V} =\int kdx\ldots$

(A)

Cela posé, dans le cas présent il s’agit d’un solide de révolution, et k est un cercle qui a pour rayon y ; donc en nommant ${\bar {\omega }}$ le rapport de la circonférence au diamètre, on aura,

$k={\bar {\omega }}\,y^{2}$ ;

donc l’équation imparfaite (A) devient

$\textstyle \mathrm {V} =\int {\bar {\omega }}\,y^{2}dx{\text{ ;}}\ldots$

(B)