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mais par hypothèse nous avons $y^{2}=px$, donc

$\textstyle \mathrm {V} =\int {\bar {\omega }}\,pxdx$,

ou, en effectuant l’opération indiquée,

$\textstyle \mathrm {V} ={\frac {1}{2}}{\bar {\omega }}\,px^{2}+\mathrm {C}$,

ou

$\textstyle \mathrm {V} ={\frac {1}{2}}{\bar {\omega }}\,y^{2}x+\mathrm {C}$,

équation qui, étant entièrement dégagée de toute considération de l’infini, est parfaitement rigoureuse.

Pour déterminer C, il faut fixer le point d’où l’on veut partir pour le volume cherché. Si l’on veut partir du sommet de l’axe par exemple, on aura x = 0 et V = 0, donc alors C = 0 et la formule se réduira à

$\textstyle \mathrm {V} ={\frac {1}{2}}{\bar {\omega }}\,y^{2}.x$,

c’est-à-dire que le volume cherché sera égal au produit de la base ${\bar {\omega }}\,y^{2}$, par la moitié $\textstyle {\frac {1}{2}}x$ de la hauteur.

93. Soit proposé de trouver le centre des moyennes distances ou centre de gravité d’une pyramide.

Pour avoir la distance du centre de gravité de plusieurs corps à un plan donné, il faut multiplier la masse de chacun de ces corps par sa distance au plan donné, et diviser le tout par la somme des masses.

Cela posé, concevons du sommet de la pyramide au centre des moyennes distances de sa base une ligne droite ; il est clair que le centre cherché des moyennes distances de la pyramide sera dans cette droite : il reste donc à savoir quelle est la distance de ce centre à la base de cette pyramide, et c’est ce que nous devons trouver d’après le principe établi ci-dessus.

Pour cela, je nomme H la hauteur de la pyramide, B sa base et x la distance du sommet à l’une quelconque des coupes faites parallèlement à cette base.

x venant à augmenter de dx, la petite tranche qui répondra à cette augmentation sera la différentielle du volume de la pyramide.

Or, comme les sections parallèles à la base sont proportion-