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nelles aux carrés des distances au sommet, la section correspondante à la hauteur $x$ sera $\mathrm {\frac {B}{H^{2}}} \,x^{2}$, et le volume de la tranche, en négligeant l’onglet comme infiniment petit relativement à cette tranche, sera par conséquent

$\mathrm {\frac {B}{H^{2}}} \,x^{2}dx$ ;

donc son moment relativement à la base sera

$\mathrm {\frac {B}{H^{2}}} \,(\mathrm {H} -x)\,x^{2}dx$,

donc c’est la somme de ces moments ou l’intégrale de cette quantité différentielle qu’il faut diviser par le volume de la pyramide pour avoir la distance cherchée du centre des moyennes distances de la pyramide à la base ; c’est-à-dire que si l’on nomme Y cette distance, on aura l’équation imparfaite

$\mathrm {Y} ={\frac {\int \mathrm {\frac {B}{H^{2}}} (\mathrm {H} -x)\,x^{2}dx}{\int \mathrm {\frac {B}{H^{2}}} \,x^{2}dx}}$

ou, en exécutant les opérations indiquées et réduisant,

$\mathrm {Y} ={\frac {\int \mathrm {\frac {B}{H^{2}}} \left({\frac {1}{3}}\mathrm {H} x^{3}-{\frac {1}{4}}x^{4}\right)+\mathrm {C} }{\mathrm {\frac {B}{H^{2}}} \,.\,{\frac {1}{3}}x^{3}+\mathrm {C^{\prime }} }}$

équation qui, ne contenant plus de quantités infinitésimales, est rigoureusement exacte.

Pour achever la solution, il faut déterminer les constantes C, C’ ; or, comme il s’agit de la pyramide entière, il faut d’abord supposer $x=0$, alors les deux intégrales deviennent aussi chacune 0, on a donc $\mathrm {C} =0$, $\mathrm {C'} =0$ : donc l’équation se réduit à

$\textstyle \mathrm {Y} ={\frac {1}{4}}x$ ;

et faisant $x=\mathrm {H}$ on a pour la pyramide entière

$\textstyle \mathrm {Y} ={\frac {1}{4}}\mathrm {H}$ ;